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数学|俄罗斯留学就读数学专业有多难？本科需要学多少东西？( 五 )


大四的论文我导师给的题目相当难 ， 他先给我一个巨大的课题 ， 看能不能研究点东西出来 ， 然后发现太难于是慢慢缩小(сужать)课题本身 ， 并给出具体的课题来研究 。最终在导师的指导下成功完成了毕业论文 ， 并参加国考顺利通过答辩毕业 。


乌拉尔国立技术大学后面的卫国战争英雄纪念碑小公园的秋天 。


数学系本科毕业应该达到什么水平？由于我自己非常喜欢代数学理论 ， 所以我的本科主要学习是代数学方向 ， 那么在这种情况下我主要的精力都放在了研究有限群理论上面 ， 对于其他方向其实并没有太深入的了解 。在这种情况下 ， 我只说一下我们代数方向本科毕业应该做到什么样的水平 。
简单来说 ， 乌拉尔联邦大学数学和计算机科学系《理论数学》专业本科毕业 ， 学生可以选择《计算机数学》、《金融数学》、《数学物理》、《代数学》、《分析和泛函》、《几何学》、《概率论和随机方程》这几个大方向 。 《代数学》方向需要在本科阶段学完整个有限群理论、主要的代数理论以便学生毕业后读研可以直接开始相关领域的科研 ， 其中包括如下部分：
群理论方面需要学完整个有限群理论的大部分截止1990年的结论 ， 包括Burnsided定理、Schur-Zassenhaus定理、Frattini子群定理、Frobenius定理这几个主要的有限群领域的定理 。
除此外需要详细学习一个有限群理论的前言课题 ， 即群的谱方法（методы спектра）来利用Brobenius定理对有限群进行分类 。
除此外还需要学习单群的分类问题 ， 包括了解21个散在单群 ， 虽然对于魔群（Monster group）只讲了这个群的“魔群月光理论”以及简单了解了一下魔群的构造 ， 但是对于本科生已经很超纲了 。
代数方面需要学习完李代数初步课程 ， 李代数需要学习到可解李代数、幂零李代数、半单李代数、卡丹分解这一部分 ， 后面的话就不学了 ， 算是给研究生数学系学习李群和李代数开个头 。
微分几何是必须学习的 ， 但是要求没那么深入 ， 因为在俄罗斯一般高等级微分几何算作研究生课程 ， 而本科至少需要了解到黎曼张量、超曲面、李导数这里 。 因为学习李代数需要用到微分几何中的很多概念去推出李群 。
数学系本科毕业论文应该是什么水平说实话 ， 乌拉尔联邦大学数学系其他人毕业时是什么水平我也不太了解 ， 但是我自己是《代数》方向的 ， 我的毕业论文课题是“2nρ阶有限群的构造 ， ρ为一个奇素数” ， 这个课题涉及到一个数学领域的课题叫做“凯里问题”：

凯里分类问题”是一个这样的问题 ， 即给定一个自然数n ， 给定其完整的拥有该阶数的有限群的完整分类 。这个问题有两个途径进行解决：第一个途径是固定群的阶数并求解拥有该阶数的所有非交换群的构造 ， 利用的方法有求解其中心（即该群中所有可交换元素组成的集合 - 补充）、西洛子群的幂零性或者其他的方法（例如群的谱刻画方法等 - 补充） ， 当然交换群的情形已经有了充分的研究 。对于这个问题可以参考很多数学的补充包和数据库 ， 例如GAP 4.5.4这里面给出了阶数小于2000的所有群的完整构造 ， 除了1024阶群（近期1024阶群也已经构造完毕 ， 有接近500亿个同构类 - 补充） ， 一共包含4亿多个不同构造 。  第二个途径是研究一个整的、拥有某种数学关系的阶的群 ， 例如我们知道如果自然数n是一个质数 ， 则拥有n阶的群只有一种 。另外一种古典方法求解的群为pq阶群 ， 这里p、q皆为质数 ， 若n=pq ， 则通过西洛定理可以求解出这种群的构造数目 。随着群的阶数的增加 ， 对于某些问题的求解还存在很多未解决的点 ， 例如我们取 n=aρa?素数集合 ， (an)=1这种类型就很难求得其构造 。

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