国际数学奥林匹克竞赛|一个国际数学奥林匹克竞赛题，90%的学生获得0分，到底难在哪？国际数学奥林匹克竞赛

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反帕斯卡金字塔是一个有限的数字集，放在一个三角形的数组中，使数组的第一行包含一个数字，第二行包含两个数字，第三行包含三个数字，以此类推；除了最下面一行的数字，每个数字等于它下面两个数字之差的绝对值。例如，下面的三角形是一个有四行的反帕斯卡尔金字塔。

是否有可能形成一个具有2018行的反帕斯卡三角形，使用从1到(1 + 2 + 3 +…+ 2018)中的每个整数恰好一次？
你可能需要多读几遍才能明白题意。但就数学问题而言，要理解这个问题是比较容易的。但求解这个问题就不那么容易了。
当我第一次读到这个问题时，我被它的简单性所吸引。所以我试着求解了一下：

我认识到为什么一个有n行的等边三角形数组必须包含1+2+3+...+n个数字。
我还想出了其他满足条件的4行反帕斯卡金字塔。
我试图找到一个有5行的反帕斯卡金字塔，但失败了。
我意识到到最大的数字必须在三角形的最下面一行。
一旦三角形中的一行被固定下来，它上面的所有行也会被固定下来。

我花了几个小时来思考这个问题。我的直觉是，不存在有2018行的满足条件的反帕斯卡金字塔数组。但我没能证明这一点，也不明白为什么。
在2018年国际数学竞赛中，有11名学生（594人中）确实在这个问题上得了满分，其中一个是来自澳大利亚，叫Ethan Tan 。下面的解是基于我从Ethan Tan那里学到的。
解这个问题问的是这样一个三角形是否存在。如果它确实存在，我们需要说明如何构造它。如果它不存在，我们需要证明它是不可能的。
通过试错法，你可以想出其他满足条件的4行的反帕斯卡尔金字塔。下面的是其中之一。
我强调了底排的10 ，因为它实际上很重要，三角形中最大的数字必须在最底排。
下一个重要的见解是关于最小的数字的位置，在这里是1、2、3和4 。因为10=1+2+3+4， 4以下的数字必须放在这样的位置上，使它们各自对底部的10之和有贡献。
让我们看另一个例子来更清楚地说明这一点。
【国际数学奥林匹克竞赛|一个国际数学奥林匹克竞赛题，90%的学生获得0分，到底难在哪？】这是一个满足条件的有5行的反帕斯卡尔金字塔。再次注意，最大的数字15在底排，而小数字1、2、3、4和5（粉色显示）的摆放方式，使它们对15的总和有贡献。更具体地说，它们必须被放置在 \"通往15的路径\"（黄色显示）上或与之相邻，该路径从三角形的顶部开始，向左或向右斜着走到底行的最大数字15 。
知道了关于小数的位置，三角形的其他区域就不能包含任何小数。这是证明具有2018行的满足条件的反帕斯卡尔金字塔不可能存在的关键。
现在让我们把它考虑2018行的反帕斯卡三角形。让我们假设满足条件的三角形中最大的数字是M = 1 + 2 + 3 + ... + 2018 。
我们将把M放在底层某处，并画一个图，强调 \"通往M的路径\" ，它必须被1到2018的所有数字所包围。
在上图中， \"通往M的路径 \"再次用黄色强调。小数字，在这里是指2018年之前的任何数字，在黄色路径旁边，这没有标识出来。