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|极限——大学数学的基础和核心，你真的理解了吗？


|极限——大学数学的基础和核心，你真的理解了吗？
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微积分课上都会讲极限的概念 ， 我们知道它与逼近有关 ， 但在证明中你会怎么利用它呢？
你可能对极限有很好的直观理解 。 f(x)的极限是指当x接近a时 ， f(x)接近的值 。 在更一般的意义上 ， 当输入接近一个值时 ， 函数也接近一个极限值 。
虽然这种直觉很好 ， 但在证明中是不适用的 。 我们需要一个精确的定义来说明接近某物的含义 。 经过几个世纪的思考 ， 魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）想出了这样一个定义：极限的epsilon-delta定义 。
定义如果我们要将这个定义形式化 ， 有很多情况 ， 但现在只关注两种情况（稍后会推广它们）：有限极限和无限极限 。 对于有限的双边极限 ， 有：
D是f(x)的定义域 。 对于无限极限 ， 有：
对于负无穷大的极限 ， 用x<-N代替x>N 。
定义中的符号逻辑等价性
【|极限——大学数学的基础和核心，你真的理解了吗？】
这意味着P和Q在逻辑上是等同的 。 也就是说 ， P和Q同时为真或同时为假 。 如果想证明P ， 那么你可以证明Q ， 反之亦然 。 在极限定义中 ， 这意味着 ， 如果：
等同于：
全称量词
上面表达式的意思是 ， S的每个元素（表示为k）都将满足后面的条件 。 你可以把它看作是对那些不相信你接下来要说的话的人的一种挑战 。 \"你不相信我？挑选S中的任何元素 ， 称其为k ， k将满足这个右边的一切条件 。 \"
定义中全称量词的两个实例是：
第一个表达式意味着你可以选择任何你想要的正数 。 第二个表达式意味着你可以在f(x)的定义域中选择任何元素 。
存在量词
这个表达式的意思是 ， 在S中至少有一个元素k ， 使得后面的一切都为真 。 我们经常需要证明这样一个k的存在 ， 包括在证明极限时 。
定义中存在量词的唯一实例是：
当它与前面的陈述结合时 ， 意味着你至少可以说出一个正数\uD835\uDEFF ， 这样无论你为?选择什么样的正值 ， 其余的陈述都是真的 。
意味着
这个表达式意味着 ， 如果P是真的 ， 那么Q就是真的 。 典型的例子是 \"如果你在雨中行走 ， 那么你会被淋湿\" ， 这句话看起来像：

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