|极限——大学数学的基础和核心，你真的理解了吗？( 二 )

请注意，如果这句话是真的，那么就有三种可能性：

你在雨中行走，你会被淋湿。
你不在雨中行走，你就不会被淋湿。
你没有在雨中行走，但你被淋湿了（例如，你掉进了游泳池或被洒水器喷到）。

这句话唯一可能是假的，那就是你能在雨中行走，但你没有被淋湿。举个例子很重要，因为有些人把“意味着”和逻辑上的等同性混为一谈。两者之间最大的区别是，在“意味着”情况下， P可以是假的， Q可以是真的，但逻辑上的等价关系却不能。
定义中唯一的“意味着”：
表示如果x在a的距离\uD835\uDEFF内（但不等于a），那么f(x)在L的距离?内。
归纳起来
说：
等于说对于任何一个正值的 ?：
我们可以找到至少一个正值的\uD835\uDEFF：
这样，对于定义域D内的任何值x：
(0 < x - a | < \uD835\uDEFF）意味着（| f(x) - L | < ?）。
如何证明极限?很多老师或教科书都会止步于此，不告诉你如何把这个定义用于任何情况。我们可以把这个定义提炼成一套一般的步骤，可以按照这些步骤来证明极限。
有限极限

选择一个任意的?>0的值。在这种情况下，这意味着我们把?当作一个变量。
对x求解不等式| f(x) - L| < ? 。
你应该得到类似m(? a) < x < n(? a)的结果，其中m(? a)和n(? a)是包含?和a的表达式。
\uD835\uDEFF是两个值中较小的一个| m(? a) - a |和| n(? a) - a | 。

无限极限

选一个任意的?>0的值。在这种情况下，这意味着我们把?当作一个变量。
求解N的不等式| f(x) - L| < ? 。
你应该得到类似N>g(? x)的结果，其中g(? x)是一个包含?和x的表达式。

一个简单的例子
首先，我们把?当作一个任意的变量，然后解以下关于x的不等式：
m(? 5) = 5 - ? / 2 ， n(? 5) = 5 + ? / 2 。请注意，如果我们想从分子和分母中取消（x - 5）， x不能等于5 。幸运的是，对于极限来说， x永远不需要。现在，我们计算上面的两个值，需要确定一个\uD835\uDEFF的值。
这两个值是相等的，所以我们可以选择\uD835\uDEFF = ? / 2 ，这就完成了。当然，如果愿意，我们可以选择更小的\uD835\uDEFF ，例如， ? / 3或? / π 。
极限的一般定义有几种类型的极限：