矢量r12实际上是电荷1和2的位移矢量之差 ， 或者简单地说：
使用单位矢量的定义为：
我们现在把库仑力项写成：
现在 ， 根据牛顿第三定律 ， 我们知道 ， 力有大小相等方向相反的反作用力 ， 因此我们可以写出：
此外 ， 由于电场E对电荷q施加的力被定义为F=qE 。 因此 ， 我们将电场表示为：
这实际上意味着什么呢？它意味着电荷q2对电荷q1所产生的电场E1只取决于q2的大小 。 这个符号可能看起来很混乱 ， 但我们可以记住这一点 ， 因为电场应该总是从正电荷向外指向 ， 因此如果我们测量正电荷q2周围的电场 ， 那么电场线将沿着矢量r12指向（即从q2指向q1） 。 很多教科书都喜欢把这个符号去掉 ， 而写成：
但必须注意避免混淆 。 因为来自正点电荷Q的电场线是径向向外的（对于负电荷来说向内） ， 所以电场具有完美的球形对称性 。 根据牛顿第二定律（F=ma） ， 我们知道作用在物体上的
净力是所有作用在物体上的力的总和 ， 在电荷情况下 ， 我们可以轻松写出：
通过同样的推理 ， 我们可以把某个任意空间中所有电荷所产生的总电场写为：
因此 ， 在没有任何其他力的情况下 ， 电场总是沿着力的方向 。 这个相当微不足道的发现得出了一个更重要的结果：如果我们用一个连续的电荷量来代替离散的电荷空间q ， 称为电荷密度\uD835\uDF46(r) ， 单位为C/m^3（注意 ， 电荷是一个离散的量 ， 但对于大量的电荷 ， 我们可以用积分来近似求和） ， 我们把从位置r出发的所有坐标r '的积分写出来：
因此 ， 只要我们知道电荷密度函数\uD835\uDF46(r)是什么 ， 就有可能计算出任何电荷分布引起的电场 。
现在我们已经得出了电场E(r)作为连续电荷密度(r)的函数的一般表达式 ， 我们可以开始思考对E(r)进行数学运算时会发生什么 。 例如 ， 让我们把公式(11)中的场的散度作为例子
方程右侧的散度算子可以自由地放在三重积分的内部或外部 ， 因为散度和积分算子都是线性的（例如 ， 如果你把积分看成是一个和 ， 那么一堆函数之和的发散与那一堆函数的发散之和相同） 。 我们注意到 ， 由于散度算子是相对于r而不是r'作用的 ， 所以函数\uD835\uDF46(r')可以移到散度算子之外 ， 即我们把方程改写为：
现在 ， 我们要解决这个问题 ， 只需知道散度项：
被化简成什么 。 为了做到这一点 ， 我们将援引散度定理 ， 即
这基本上意味着某个函数的散度的体积积分与该函数沿一组法向量n的表面积分相同 ， 这些法向量总是垂直于表面元素dS 。 现在假设我们选择一个半径为R的球体 ， 那么就会发现 ， 表面的单位法向量总是从球体的径向向外指向 ， 这样就可以写出：
另外|r-r'|=R 。 现在 ， 球面坐标中的表面积元素为：
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