培训机构|利用库仑定律推导出高斯定律，电与磁之间相互作用的基本方程( 三 ) 十堰|中小学

式16

这意味着散度积分化简为：

式17

这个相当令人惊讶的结果有一个非常特殊的含义：式（14）中的散度项必须等于某个函数，该函数在被积分后等于常数4\uD835\uDED1 。具有这种性质的一个函数是狄拉克δ函数（Dirac-delta function），即：

式18

因此，这表明我们可以定义：

式19

得到的结果是：

式20

因此，我们现在得到了高斯定律的理想方程：

式21：高斯定律的微分形式

在微分形式中，这个方程告诉我们，通过一个无限小的空间体积的场E的量（我们把它表示为dV）等于该局部区域的电荷密度，除以自由空间的介电率。通过以积分形式观察，可以获得更好的理解：让我们把两边相对于一个体积进行积分：

式22

右边的积分只不过是体积V内的总电荷Q 。然后，利用散度定理，我们把左边的积分变成一个表面积分：

式23：高斯定律的积分

这里，场的总通量E等于表面S所包围的电荷总量。为了证明这一点，我们将考虑以原点为中心的点电荷Q所产生的电场，其三维场在球面坐标中的方向是径向向外的（这是我们之前用库仑定律得出的表达式）：

式24

并选择一个以原点为中心的固定半径为R的球面，与之前相同的面元径向向外：
我们得到：
这个定律最重要的结果是，不管我们把表面S放在电荷Q周围的什么地方，电通量总是相同的，即使场线没有与表面法向量对齐。因此，通过任意表面S的电通量只取决于所包围的电荷Q 。举一个例子，假设我们有一个电荷在空间的离散分布，如Q=所有q的总和。那么，从它们周围的一个任意封闭表面S出来的总电通量是：

式25：电通量

还应注意的是，表面内的负电荷会消除电通量。考虑一个由两个相等和相反的电荷q和-q组成的简单偶极子。对于它们周围的任何任意表面，很容易表明净电通量为零
然而，如果我们通过在每个电荷周围放置两个互不相干的表面来计算其周围的总电通量，我们就会发现，这些电通量将是大小相等方向相反的，即：
因此，由n个子区域组成的区域Ω中的总电通量，都被围在Ω内，只不过是该区域内所有单个电通量的总和。