初中数学|日本初中数学竞赛题，解高次方程，不少学霸懵了，2种解法供参考
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大家好！今天和大家分享一道日本初中数学竞赛题：解方程(6x+7)^2(3x+4)(x+1)=6 。 这是一道解高次方程的题目 ， 难度还是挺大的 ， 不少初中学霸看到题目都懵了 ， 本文和大家分享此题非常经典的2种解法供大家参考 。
此题硬解也不是不可以 ， 只是计算量非常大 ， 将方程左边展开后会出现关于x的四次五项式的形式 ， 在计算过程中非常容易出错 ， 而这也是吓到不少同学的地方 ， 甚至让一些学生直接选择了放弃 。
其实在初中阶段 ， 对于高次方程有一个比较好用的方法 ， 那就是：换元法 。 所以此题也可以考虑用换元法求解 。
解法一：初中阶段常用的换元法包括单换元法和双换元法 ， 优先考虑使用单换元法 。 使用单换元法需要先找出式子中相同或相似的部分 ， 对相同或相似部分进行换元 。 但是本方程的左边并没有相同部分 ， 那应该怎么办呢？仔细观察一下 ， 可以发现虽然没有相同部分 ， 但是如果将第二个括号乘以2得到6x+8、第三个括号乘以6得到6x+6 ， 那么这三个括号内的部分就非常相似了 。
接下来 ， 为了简化计算 ， 我们令三个式子中间值的那个为t ， 即6x+7=t 。 然后将另外两个也用t表示出来 ， 即6x+8=t+1、6x+6=t-1 ， 这样就完成了对整个方程的换元 ， 整理后得到：t^4-t^2-72=0 ， 即(t^2-9)(t^2+8)=0 。 由于初中阶段的解方程是在实数范围内 ， 所以t^2+8不可能为0 ， 即t^2-9=0 。 求出t的值后 ， 再反解出x的值就得到原方程的解 。
解法二：看到高次方程 ， 不少人已经想到了用换元法 ， 但是解法一讲到的换元方法很多同学想不到 ， 那么有没有更加容易想到的换元方法呢？
肯定是有的 。 先将方程左边的完全平方式展开 ， 再将(3x+4)(x+1)也展开 ， 即可得到：(36x^2+84x+49)(3x^2+7x+4)=6 。 现在观察上面的式子 ， 可以发现第二个括号乘以12再加上1就等于第一个括号的式子了 ， 这也是解法一的实质 。
不过 ， 计算到上面这一步后 ， 也可以采用另外的换元方法了 。 如令3x^2+7x+4=t ， 则36x^2+84x+49=12(3x^2+7x+4)+1=12t+1 ， 所以原方程就变形为(12t+1)t=6 。 整理得：12t^2+t-6=0 ， 即(3t-2)(4t+3)=0 ， 解出t的值 ， 再反解x的值即可得到原方程的解 。
【初中数学|日本初中数学竞赛题，解高次方程，不少学霸懵了，2种解法供参考】这道日本数学竞赛题 ， 看似难度很大 ， 也确实难住了不少同学 ， 但是找到方法后其实并不难 ， 而且方法也是初中数学常用的换元法 ， 真正的难点在于找出如何换元 。 这道题就和大家分享到这里 。
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