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安徽师范大学|掌握了这套学习方法，数学会得心应手 第1讲 等腰三角形的判定( 二 )


（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．理由如下：
∵由（2）知：CD=CE ，
由（1）知：CE=BD ，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．
（重要说明：利用定义法去证明等腰三角形时 ， 通常要构造全等三角形 ， 全等三角形的一个重要作用就是对应边和对应角相等 。 本题在第（1）（2）小问）
例2、判定定理法
操作发现 将一副直角三角板如图①摆放 ， 能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30° ， 点C落在BF上 ， AC与BD交于点O ， 连接CD ， 如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8 ， 求AD的长．
图2 判定定理法判定等腰三角形
【如何去思考】第（1）小题是要求△CDO是等腰三角形
我们先看题目中的关键语句是：等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30° ， 点C落在BF上 。 我们从关键语句上可以提取两个有用信息：①“旋转”可推BC=DE；②30° 。
因此一看到这个关键语句我们立刻就应该发现用等腰三角形的判定定理去做本题最简便 。 因为题目中没告诉你边有多长 ， 也不好用全等 ， 更没有高和中线的信息 ， 那就只能用判定定理了 。 既然是利用判定定理2 ， 我们就要在题目中利用角的关系定理解出更多的角 。 而角的关系定理我们最常用的就是“外角定理”和“三角形内角和等于180°” 。
（1）证明：由图①知BC=DE ，（先从关键语句中旋转”二字可推BC=DE）
∴∠BDC=∠BCD 。（边角关系互相转化）
∵∠DEF=30° ，（先从关键语句出发）
∴∠BDC=∠BCD=75° 。（再利用角的关系：三角形内角和等于180°）
∵∠ACB=45° ，
∴∠DOC=30°+45°=75° 。
∴∠DOC=∠BDC 。（利用判定定理的证）
∴△CDO是等腰三角形 。
因为本篇文章讨论的是等腰三角形的判定 ， 第（2）问只给出答案 。
作AG⊥BC ， 垂足为点G ， DH⊥BF ， 垂足为点H ，
例3、“三线合一”法：
如图1 ， 在Rt△ABC中 ， ∠BAC＝90° ， AB＝AC ， 点D、E分别在边AB、AC上 ， AD＝AE ， 连接DC ， 点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
图3-1 “三线合一”法判定等腰三角形
（1）图1中 ， 线段PM与PN的数量关系是 ， 位置关系是．
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置 ， 连接MN、BD、CE ， 判断△PMN的形状 ， 并说明理由．
（3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中 ， 如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部 ， 如图3） ， AB＝BD ，
求证：AD＝CD．
（本文重点讨论等腰三角形的判定 ， 因此（1）（2）问不做具体分析）
【解答】解：（1）较为简单 。 仅做提示：PM、PN分别是△DCE和△CDB的中位线 ， 根据条件易得BD＝CE∴PM＝PN；
又∠BAC＝90° ， PM∥CE ， PM∥CE ， 易得PM⊥PN
（2）△PMN是等腰直角三角形 ， 理由：
由旋转知 ， ∠BAD＝∠CAE ，
∵AB＝AC ， AD＝AE ，
∴△ABD≌△ACE（SAS） ，（再次出现利用等腰三角形的边构造全等三角形）
∴∠ABD＝∠ACE ， BD＝CE ，
同（1）的方法 ， 利用三角形的中位线得 ， PN＝BD ， PM＝CE ，
∴PM＝PN ，
∴△PMN是等腰三角形 ，
同（1）的方法得 ， PM∥CE ，
∴∠DPM＝∠DCE ，
同（1）的方法得 ， PN∥BD ，
∴∠PNC＝∠DBC ，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC ，（三角形外角定理）
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC ，
∵∠BAC＝90° ，
∴∠ACB+∠ABC＝90° ，

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