在数学教程中如何给出定义，经常是值得研究的 。好的定义应当揭示概念的本质，是“what”层面的，而不是“how”层面的 。撰文|姜树生本文所讨论的数学问题，主要与数学教育有关 。对于一个数学概念的理解，直观、定义与表达这三个方面都是需要的，但有各不相同
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在数学教程中如何给出定义，经常是值得研究的 。好的定义应当揭示概念的本质，是“what”层面的，而不是“how”层面的 。
撰文 | 姜树生
本文所讨论的数学问题，主要与数学教育有关 。
对于一个数学概念的理解，直观、定义与表达这三个方面都是需要的，但有各不相同的作用 。
在小学数学的初级教程（具体说就是自然数的认识）中，这三个方面是混合在一起的，既要有直观（从扳着手指头数数开始，实际上要做很多实验），又要学记数法（进而就可以计算），最终要形成自然数的概念 。在这个过程中，难免有不适当的做法，甚至走弯路、犯错误，但如果最终形成了自然数的概念，在学习过程中有些缺点出些错误都无可非议 。就如孩子学走路，难免跌跌爬爬，磕磕碰碰，甚至受点伤，但只要最终学会走路就行 。
然而近年来，有些自以为高明的教学法，从很小就教孩子学习记数和计算，不重视甚至忽略直观 。其结果可能使得孩子在速算比赛中获奖，但却不能自觉地应用数学解决生活中的问题，更没有培养创新能力 。其实只是一种虚荣而已 。
到了中学数学教程中，上述三个方面逐渐分开，教学法与小学有显著的不同 。
首先来看无理数的概念 。在早年的大多数教科书以及当今的一些教科书中基本上是这样讲的: 首先以例子说明无理数存在，具体说就是有的“数”不等于两个整数的比，最常见的是边长为 1 的正方形的对角线的长度（有的教科书中给出其无理性的证明） 。认识到无理数的存在，就可以进一步形成实数的概念，即有理数与无理数的全体 。至于无理数表达为无限不循环小数，很多教科书是不讲的，或者仅举具体的例子让学生体会 。这样的讲法尽管没有给出实数的定义，却是适合大多数学生 。实际上大多数人一辈子也没见过实数的定义，但这并不妨碍他们在工作中使用实数，因为数学的严谨性是由数学家保证的，一般人尽可以放心大胆地使用 。
但是，如果有学生问“什么是无理数”，准确地说就是不满足于直观，希望从根本上搞清楚实数的概念，教师应该怎样回答呢？这样的学生是千里挑一，而能回答这样问题的中学教师也是千里挑一 。问题仅在于千里挑一的学生能否遇到千里挑一的老师 。
有的老师会回答说：“无理数就是无限不循环小数”，在有些教科书或课外书中也看到这样的“定义” 。然而，“无限不循环小数”只是无理数的一种表达方式，而不能作为定义 。从哲学上说，任何一个定义必须是针对一个客观存在的对象,否则就可能落入逻辑陷阱 。（一个典型的例子就是“所有集合的集合”，若引入这个“定义”，整个数学体系就崩溃了 。）首先需要明白实数是一种客观存在，然后才能谈它的表达 。
有效的实数定义至少有两个，一是用戴德金分割，一是用基本叙列 。两个定义是相互等价的，但风格迥异，前者几何味较浓，后者代数味较浓 。（从数论的眼光看，实数是整数在“阿基米德位”的局部化 。）要想理解实数的实质，最好两个定义都读懂（若能从数论的角度理解当然更好） 。但这两个定义都颇不简单，而且定义后还要建立各种运算、大小关系、极限等 。对于一般的中学生甚至大学生，难度都是相当高的 。因此，在中学数学教程和大学高等数学教程中不引入实数的定义，是明智的 。
但若在中学或大学数学教程中以“无限不循环小数”作为无理数的定义，则是非常不明智的，非但不能使学生明白，反而会使很多学生误以为懂了 。如 [4] 中所说:
“不怕不懂，就怕不懂还自以为懂 。”
再来看平面几何 。在几何教科书中有很多定义，但这些定义都不是“原始”的，原始的概念如点、直线、平面等都是只有直观没有定义的，但它们由公理体系界定 。用现代的语言，几何对象可以定义为满足一些条件 (公理) 的若干集合所组成的体系 。硬要定义直线、平面等是不会有好结果的，所幸还没听说有这样的教科书 。
不过在现行中学数学统编教科书中，很多几何概念的定义有严重缺陷，例如把直观当作定义，或语义含混 (详见 [2]) 。
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