初中数学|初中数学：铅垂高法推导及其在二次函数求面积中的巧妙应用初中数学

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一、什么是铅锤高法？
过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，垂足为M、E、N 。 MN的长度就叫做△ABC的“水平宽” ，中间的这条垂线AE在△ABC内部线段的长度AD就△ABC的“铅垂高(h)” ，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2MN*AD ，即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
一、用等积法推导铅垂高法
证明：如图， AD把△ABC分成两部分△ABD、△ADC
若以AD为底，则ME、NE分别为△ABD、△ADC的高
S△ABC=S△ABD+S△ADC
=1/2ME*AD +1/2EN*AD
=1/2MN*AD
【初中数学|初中数学：铅垂高法推导及其在二次函数求面积中的巧妙应用】即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
二、铅锤高法在二次函数求面积中的巧妙应用
注意：在二次函数中，应用铅锤高法，通常把“水平宽”映射在x轴上，少数情况也映射在y轴上。
数学成绩
例1、已知：如图，二次y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-10），点C(05) ，另抛物线经过点(18) ， M为它的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）解：过点M作MN∥y轴交BC轴于点N ，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积= MN?OB÷2.
∵y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9 ，
∴M（2 ， 9）， B（5 ， 0），
由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5 ，
当x=2时， y=-2+5=3 ，则N（2 ， 3），
则MN=9-3=6 ，
则S△MCB=MN*OB/2 =6×5÷2=15.（铅垂高法）
如果用一般的割补法：S△MCB=S△MEB+S梯形MCOE-S△MCB ，那么计算量会很大
下面我们再来看一道例题：
例2、如图1 ，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1 ， 0) ， B(－3 ， 0)两点。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2 ，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。
解：(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；
（2）Q(－1 ， 2)；
（3）如图6 ，作PE⊥x轴于点E ，交BC于点F．
设P点（x ，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．
由例题1和2 ，您是不是发现掌握了铅垂高法，在二次函数中求面积就会变得异常简单呢？

初中数学|初中数学：铅垂高法推导及其在二次函数求面积中的巧妙应用

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