|群论—抽象代数和现代代数的基础，其本质特征尽在一个三角形中

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【|群论—抽象代数和现代代数的基础，其本质特征尽在一个三角形中】

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彭罗斯拼图上的十二面体

当我们讨论数学的美及其对称性时，我们经常忽略它们到底是什么（本质是什么）。在这篇文章中，我将介绍被称为群论的数学研究，它是被称为抽象代数和现代代数领域的基础。
三角形的对称性
我将从三角形的对称性开始，作为一种粗略的方式来理解即将到来的术语。我要做的就是从基本几何中提炼出一般意义。

定义1：三角形，三角形是平面内任何三个唯一的点，或平面内任何三条唯一直线所围成的区域。

定义2：等边三角形，如果一个三角形的三条边长度相等，我们就说这个三角形是等边的。

根据基本几何学，我们知道等边三角形的3个内角也是相等的。欧几里德以如下方式构建等边三角形。
因为这两个圆共享一个半径，而且所有三个点都位于两个圆上，所以任何两个圆之间的距离必须是相同的。稍后我们将看到这意味着什么。
以这里给出的三角形ABC为例。我们可以沿着它的一条平分线进行反射，或者我们可以将它旋转三分之一圈。这里用r代表旋转，用f代表反射。
我们可以看到，通过这些操作正好可以得到6种结果，举例来说：
可以想到，三角形的对称性对应于字母的重新排列，并且旋转和反射足以得到所有这些结果。如果你想尝试一下，从一张纸上剪下一个三角形，并尝试2或3个反射或旋转的每个组合。把它们做成一个表格，看看每个角的位置。
然后我们最终发现三角形{abc有一系列的旋转和反射使它保持不变；这些都是由一次旋转和一次反射“构建”而成的。

这里， e是 \"自身\" ，即 \"什么都不做\" 。

我们把这些称为对称性，这仍然不是一个很好的解释。我们更进一步，把具有这些对称性的三角形写成（T ， G），其中：
T={abc ， G=（r ， f ， r^2 ， rf ， r^2f）。你可以认为这是在描述一个等边三角形的属性：它是一个由三点组成的集合，其中某些旋转和反射（G中的那些）让它保持不变。我们现在称这些为对称性，但在不久之后会再一次完善定义。
什么是群？??