教师|“无穷”的哲学内涵，为什么数学分析在一定意义上就是无限的科学
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无穷（无限）是对有穷（有限）而言的 。 无穷不仅是哲学和天文学的重要课题 ， 而且也是数学的重要课题 ， 数学分析在一定意义上就是“无限的科学” 。 在数学发展史上 ， 几次数学基础的危机都同无穷有直接关系 。
数学中的无穷主要是无穷过程、无穷大、无穷小、无穷集合、无穷序数和无穷基数 。 其中无穷过程、无穷大与无穷小起源于古代人们的直观 ， 它们数学后 ， 通过人们的思维 加工 ， 形成了数学中的潜无穷与实无穷概念 。 无穷集合、无穷序数和无穷基数则是在数学相当发展的基础上再次抽象而成的数学概念 ， 均属于实无穷范畴.因此 ， 数学中无穷的历史实际是潜无穷与实无穷在数学中合理性的历史 。
古希腊奴隶社会形成时期 ， 盛行关于“万物本原”的学说 。 在这些学说中 ， 阿那克西曼 德（約公元前610?546 ）认为万物的基本元素是一种不具备任何规定性的特殊物质 ， 这种物质既不冷又不热、既非水又非气 ， 他把这种物质称为“无限” 。 这是最早出现的“无限”概念 ， 它到底是什么 ， 十分费解 。 所以无限从一开始就是以纯粹思辨的形式出现的 。 在它产生的初期 ， 主要是哲学家的重要课题 ， 如物质的无限性 ， 时间和空间的无限性等 。 在数的概念形成的基础上 ， 人们逐渐给予“无限” 一种新的含义：它并不是一种具体的物质 ， 而是与 \"有限”相对立的量的既念 ， 从此它才成为数学研究的一个重要方面 。
在希腊奴隶制的繁荣时期 ， 社会上出现了一批以教授智慧为职业的\"智者”（Sophists） 这些“智者”实际是一批职业教育家、科学家和哲学家 。 智者中的相当一批人对“几何三大 难题”颇感兴趣.曾研究过“化圆为方”问题的阿那克萨哥拉（约公元前500- 428）也许受该问题的启发 ， 认为客观事物都是无限可分的 ， 这是数学中最早的潜无穷思想 。 智者安提丰（约公元前五世纪）明确提出用圆的内接正方形的边数不断加倍的方法可以无限逼近圆的面积 。 几乎同时 ， 布赖森提出用圆的内接与外切正多边形来逼近圆的面积 。 这些都是潜无穷 想在数学中的应用 ， 但是没有见到他们的具体计算 。
对安提丰等的思想作出重大发展的是欧多克斯（公元前408-355 ）和阿基米德（公元前287-212 ） 0他们二人提出了 17世纪时被人命名的“穷渴法” 。 欧多克斯用穷竭法曾经证明椎体时体积等于与它同底高柱体体积的1/3 。 阿基米德不仅用安提丰的思想 ， 从圆的内接与外切正六边形算起 ， 算到96边形时得出：
而且还用穷竭法算出球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及旋转抛物面的体积等一批相当难的数学问题 。 阿基米德的穷竭法是古代潜无穷思想的高峰 。
潜无穷思想在我国也产生得很早 ， 战国时代《庄子》一书中的“一尺之”就是脍炙人口的一个 。 三国时代的刘徽在应用这一思想时有所发展一注意到无穷进展能够完成 ， 并把他 的这一思想应用于计算“弧田”的面积、“阳马”的体积以及开方运算 ， 但是最典型的计算是用“割圆术.计算圆的面积 。 刘微肯定圆内接正六边形的面积随边数不断加倍而逐渐增 加 ， 但永远不会大于圆的面积；同时又明确指出：“割之弥细 ， 所失弥少 ， 割之又割 ， 以至不可割 ， 则与圆合体而无所失矣.刘微从单位圆的内接正六边形算起 ， 算到正192边形 ， 得 出π = 3.14 。 南北朝时期的祖冲之在刘微工作的基础上已求得3.1415926<π<3.1415927 ， 这是无穷思想的应用 ， 也是当时的最好成就 。
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