教师|“无穷”的哲学内涵，为什么数学分析在一定意义上就是无限的科学( 二 )
【教师|“无穷”的哲学内涵，为什么数学分析在一定意义上就是无限的科学】在无穷的历史上 ， 潜无穷产生的同时也产生了它的孪生兄弟一实无穷 。 《庄子》 一书中曾有\"至大无外谓之大一 ， 至小无内谓之小一\"的记载 。 这段话的意思是说：当大到 没有边界（无外）时就叫\"大一\" ， 当小到没有内部（无内）时叫做\"小一\" 。 既是大到无 外 ， 就表示已经完成了的总体 ， 所以“大一” ， 就是实无穷大；如果小到没有内部 ， 表示分割已经穷尽 ， 显然是实无穷小 。
在古希腊流行的学说中 ， 除以安提丰与阿基米德为代表的潜无穷思想外 ， 还有原子论的学说 。 原子论者认为 ， 客观事物都存在不可再分的原子 ， 而物体均由其原子堆积而成 。 这里的原子就是数学中的实无穷小 。 有的数学史记载 ， 原子论者德谟克利特曾利用这一思想算出 圆锥与棱锥的体积 ， 但是没有记载具体方法 。 原子论思想对数学特别是对积分思想的产生影响极大 。 有人认为 ， 从那时开始 ， \"固定无穷小量的观念就顽固地粘附在数学上了 ， 每当逻辑无济于事的时候 ， 直观就常常会求助于它 。
在实无穷概念的发展史上 ， 柏拉图（约公元前427-347 ）的思想是不能忽视的 。 在柏拉图那里 ， “理念世界”是一个整体 ， 它容纳一切 ， 包罗万象 ， 是唯一真实的存在；人们对现实 世界的任何知识（包括数学知识）都是理念世界的组成部分 。 所以那种不能通过经验方法直 接获得而要通过思维才能把握的实无限观念就是合理的 。 如果我们剔除柏拉图的唯心主义外壳而保留其合理内核 ， 那么柏拉图作为实无穷论者是自然的 。 事实上 ， 柏拉图的这种思想往往成为后来数学中实无穷的哲学根据 。
潜无穷是对一个个具体有穷的否定 ， 实无穷作为完成了的整体又是对潜无穷的否定 。 所以无穷的发展总是遵照\"有穷——潜无穷——实无穷”这样一个否定之否定的规律发展的 。 潜无穷与实无穷乃是一个矛盾的两个方面 ， 二者既对立又统一 。 既如此 ， 片面地坚持其中一 从而否定另一个必然产生不可克服的矛盾 。 芝诺的四个悖论就是在这种情况下提出的 。 如果 我们立足无穷的观点 ， 芝诺的四个悖论在客观上是对上述两种无穷观的质拟：“二分法”\"与\"阿基里斯追龟”是对片面坚持潜无穷的质拟；“飞矢”与“运动场”则是对片面坚持实无穷的质拟 。 因为你若坚持潜无穷 ， 你就必须\"先走一半” ， 再走\"一半的一半\" ， 于是陷于无穷 ， 而当时的数学认为 ， 无穷多个非零之数的和必为无穷大 ， 从而人们永远不能渡过一条 河 ， 善跑的阿基里斯永远追不上乌龟 。 这个結论自然是荒谬的 ， 结论的荒谬说明前提潜无穷的破产 。
同样如果坚持原子论的立场 ， 飞矢在一个时间原子的瞬间就是静止的了 ， 同时一半的时间也可等于它的一倍了 。 “飞鸟之影未尝动也是荒唐的” ， 在有限的条件下 ， 部分等于全体也是不可想像的 ， 这些结论的错误说明其前提——实无穷是错误的 。 不管芝诺提出这四个悖论的真实目的如何 ， 在客观上掲露出片面的坚持潜无穷或坚持实无穷都会产生矛盾 。 所以从欧几里得以后 ， 以追求严密性为目标的希腊数学对两种无穷均采取排斥的态度 。 从此 ， “无 限成为一种禁忌 ， 不惜任何代价 ， 务必拒之门外 。 ”
在无穷的认识史上 ， 亚里士多德（公元前384-322 ）第一个明确地指出 ， 研究无穷同研究有穷一样具有同样重要的意义 。 他说 ， \"既然研究自然是研究空间的量、运动和时间的 ，其中每一个必然不是无限的就是有限的 ， 因此 ， 所有有名的哲学家 ， 凡是接触过这门自然 哲学的都讨论过有关无限的问题 。
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