arctan求导法则 arctan求导 _生活百科

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有些数字比其他数字更容易出现在公式中。有些人甚至会说，有些数字比其他数字更重要。但是为什么呢？在这篇文章中，我将展示一些美丽的公式，它们都包含π ，并试图理解为什么π在数学中随处可见。
介绍
如果π只渗透到几何和三角学领域，而不是数学的其他子领域，就不足为奇了。然而， π存在于数学的许多领域，在某些情况下，我们很难理解为什么π会出现。
π存在于数论、微积分、代数、概率论和统计学等学科中，如果你有研究，会发现它非常神奇和有趣。
π以某种形式出现，应该意味着某个地方隐藏着一个圆，而在某些情况下，似乎并没有。
【arctan求导法则arctan求导】回忆一下， π就是任何圆的周长除以直径得到的精确数字。

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下面的公式都会出现π 。我将试图解释为什么会出现（π）？
莱布尼茨公式
让我们从结果开始：

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这个交替级数收敛于π/4 。π为什么会出现在这个级数中？它来自于一个三角函数。已知几何级数：

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当|x| < 1时成立。我们在两边用-x^2替换x ，得到：

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两边从0到1积分会得到：

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其中arctan是反正切函数。
布冯针问题
在18世纪，乔治-路易·勒克莱尔，布冯伯爵提出了以下问题：
假设有一张纸，在上面画等距的平行线，然后在纸上放一根针，针的长度与两线之间的距离相等。针与其中一条线相交的概率是多少？

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这个问题的答案是2/π ，但是“圆”藏在哪里呢？
假设针的中心落在两条线之间，我们可以不失一般性地假设针以及两条线之间的距离是2个单位长。
设针的中心为x ，我们把这两条直线放在一个坐标系中，使得最接近x的垂直线在0处穿过x轴（因此，它就扮演了第二个轴的角色）。我们可以用下图来说明：

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红蓝线说明了这个实验的两种不同结果。这个圆说明了当针的中心为x时所有可能的结果。请注意，针永远不能相交于两条线，所以我们可以假设x在两条直线的中心线的左边。两条直线的中心在x=1处。
从上图可以看出cos(θ) = x ，因为我们需要让x变化，所以需要反余弦函数，也就是arccos 。公式变成了θ = arccos(x) 。
我们需要把所有的面积比加起来，有无穷个（面积比），因为x的每一个值都会给出一个这样的比值。但我们有微积分工具，可以对x从0到1积分得到所有比值的和。

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现在我们可以用分部积分法对arccos(x)求导，来证明arccos(x)的不定积分是x arccos(x) - sqrt(1- x2) + C 。
最后得到 p = 2/π 。这个公式中的圆来自于针的旋转对称。
欧拉恒等式
数学中最美丽的方程式当属欧拉恒等式， 1748年，莱昂哈德·欧拉提出了这个方程：

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正如威廉·德纳姆所说：
如果你想做加法，你需要0；如果你想做乘法，你需要1；；如果你想学微积分，你需要e；如果你想做几何，你需要π；如果你想做复分析，你需要i 。这些数字都出现在了欧拉恒等式中。
它表达了两个对称之间的有趣关系。当我们用一个复数z乘以e^(πi) ，得到的数字是z沿着半径为|z|的圆旋转π弧度得到的数字。
欧拉恒等式表达了这样一个事实：通过原点反射一个复数（即乘以-1）相当于将该数旋转180度。