能在实际计算中观察到这种现象 ， 即便对我来说 ， 也非常震惊 。 因为要真正建立这样的联系 ， 得用到比这多得多的数学对象 。
“我和同事们所做的工作 ， 就是在不同数学分支间搭起桥梁 。 ”图片来源：Philipp Ammon/Quanta Magazine
来回的两个方向需要不同的桥吗？
的确是这样 。 第一座桥是单向通道 。 如果你想从 Galois表示这边开始 ， 往模形式那边走 ， 就可以使用Taylor-Wiles方法 ， 这个方法最早是用来证明费马大定理的 。 现在我们已经能双向行走了 。
为什么要这样大费周章？通过这些桥梁还能让你们做些什么？
建立这些关系 ， 展示不同数学之间的共同点 ， 能带来智力方面的满足 。 当然 ， 它也是有实用价值的 。 对于某些数学问题来说 ， 在桥的一边会比另外一边更容易解决 。 面对一个很难的数学问题 ， 我们经常需要在其中一边做一些研究 ， 然后再到另一边做更多工作 。 为了证明某些命题 ， 你可能需要来回过桥 ， 这样你就必须得能在两个方向上自由穿行 。
在这个领域中 ， 一个重要的目标是要在更一般的条件下造桥 。 这样我们就能让Langlands 纲领的研究范围不断扩张 。
在造桥过程中 ， 你做出了什么贡献呢？
数学家们已经意识到Taylor-Wiles方法对局限性：它针对2维情况效果良好 ， 但在3维就失效了 。 2012年 ， Frank Calegari和David Geraghty想到了一个改进方法 ， 以适用 3 维情况 。 然而他们表示 ， 要让这个方法起作用 ， 首先得解决他们提出的三个猜想 。
我的同事Peter Scholze在2013年解决了第一个猜想；这个猜想建立了第一座桥——从模形式到Galois ， 这座桥远比原来的2维情况要宽的多 ， 这样才能与3维情况下出现的新现象相容 。
在2015年年底 ， Sholze 和我意识到 ， 我们最近的工作可以用来解决第二个猜想 ， 要是这个猜想得到证实 ， 就能精确控制这座桥着陆的位置 。 虽然这个方法失败了 ， 但是我们又想出了很有希望的新方法 。 这时 ， Taylor建议我们在普林斯顿高等研究院（IAS）组织一场研讨会来完善我们的工作 ， 想办法解决第二个猜想 。
虽然Caraiani不认为Langlands纲领最终能解释数学中的一切 ， 但她觉得有一天它可能会连接起数学的所有领域丨图片来源：Philipp Ammon/Quanta Magazine
为什么要跟让别人来参与这项工作 ， 而不是自己解决第二个猜想？
整个证明过程从几何跨越到数论 。 Sholze 和我做的是几何部分 ， 但我们认为自己并不是数论方面最好的人选 。 我们觉得寻求合作能让项目进展得更快 。
结果如何呢？
我们已经解决了第二个猜想这个目标 ， 并且找到了一个方法来绕过第三个猜想 。 我们建起了反方向的桥——由Galois到模形式的3维情况 。 这让我们成功越过了Taylor-Wiles方法失效的障碍 。 而且这座桥不单单是对3维 ， 对任意维也是有效的 。 论文已经在 2018 年圣诞节那天挂到网上 ， 现在正在接受期刊的审校 。
现在你又在做什么研究呢？
我们对Calegari和Geraghty的第二个猜想 ， 只在两种特殊情况下做出了证明 。 现在我正在与之前 10 位合著者之一的James Newton合作 ， 想办法在最一般的条件下证明这个猜想 。
我还是对第三个猜想很感兴趣 ， 即便我们之前绕过了它 。 它预测了志村簇（Shimura varieties）的某些性质 ， 而我对此兴趣浓厚 ， 希望今后能对它有更深的了解 。
另外 ， 还存在某些情况 ， 我们对于如何造桥一无所知 。 在我们的领域中一个重大的目标就是在尽可能一般的条件下造桥 ， 比如使用任意数系上的多项式 。 这样我们就能扩展 Langlands 纲领的研究范围 。
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