数学|数学有什么好学的？( 二 ) 微积分

几何?

几何和算术一起是数学最古老的分支之一。它主要是为了测量和建筑的需要而开发的。
一个根本性的创新是古希腊人对证明的阐述：仅仅通过测量来验证，比如说，两个长度相等是不够的。这种性质必须通过抽象推理来证明，这些抽象推理来自先前证明的结果（定理）和基本性质（被认为是不言而喻的，因为它们太基本了，不能成为证明的主体假设）。这一原理是所有数学的基础，是为了几何学而详细阐述的，并在公元前300年由欧几里得的《几何原本》一书中系统化。
直到17世纪，欧几里得几何的方法和范围都没有改变，直到笛卡尔引入了现在所说的笛卡尔坐标。这是一个主要的范式变化，因为它不把实数定义为线段的长度，它允许用数字（坐标）来表示点，并使用代数和后来的微积分来解决几何问题。这将几何学分为两部分，它们的不同之处在于它们的方法，综合几何使用纯几何方法，解析几何系统地使用坐标。
解析几何允许研究新的形状，特别是与圆和线无关的曲线；这些曲线要么被定义为函数图（微分几何），要么被定义为隐式方程，通常是多项式方程（代数几何）。解析几何使得考虑高于三个维度的空间成为可能，这不再是物理空间的模型。
在19世纪，几何学迅速发展。一个重大事件是（在19世纪下半叶）发现了非欧几里得几何学，也就是放弃了平行公设的几何学。这也是数学基础危机的起点之一，因为它对上述定理的真实性提出了质疑。这方面的危机是通过公理方法的系统化来解决的，并且采用所选公理的真理性不是一个数学问题。反过来，公理方法允许通过改变公理或考虑在空间的特定变换下不变的属性来研究各种几何。这导致了几何学的许多子领域的诞生，包括：

射影几何，它是在16世纪引入的，通过在无穷远处增加平行线相交的点来扩展欧几里得几何。通过避免对相交和平行线进行不同的处理，这简化了古典几何的许多方面。
仿射几何，研究与平行度相关且独立于长度概念的几何。
微分几何，研究曲线、曲面及其推广，用
可微函数来定义。
流形，具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体。
黎曼几何，弯曲空间中距离性质的研究。
代数几何，对曲线、曲面及其推广的研究，用多项式来定义。
拓扑学，研究在连续变形下保持不变的特性。
代数拓扑学，在拓扑学中使用的代数方法，主要是同调代数。
离散几何，研究几何中有限构型的学科。
凸几何，对凸集的研究，其重要性在于它在优化中的应用。
复数几何学，用复数代替实数得到的几何学。

代数

代数可以看作是一门运算方程式和公式的艺术。丢番图和花拉米子是代数的两个主要先驱。丢番图通过推导新的关系，求出未知自然数之间的一些关系，直至得到解。花拉米子介绍了方程变换的系统方法（比如将一项从方程的一边移到另一边）。
直到弗朗索瓦·韦达，代数才开始成为一个特定的领域，他引入了字母（变量）来表示未知数字。在19世纪，变量开始表示数字以外的东西（如矩阵、