数学|数学有什么好学的？( 三 ) 微积分

模整数和几何变换），这是算术运算的推广。后面又引入了代数结构的概念，代数结构由一个非空集合、作用于集合元素的运算以及这些运算必须遵循的规则组成。因此，代数的研究本质上变成了代数结构的研究。
一些类型的代数结构具有在许多数学领域中有用的、而且往往是基本的属性。它们的研究如今是代数的自主部分，其中包括：

群理论；
场理论;
向量空间，其研究本质上与线性代数相同；
环论；
交换代数是对交换环的研究，包括对多项式的研究，是代数几何的基本部分；
同调代数；
李代数与李群理论
布尔代数，广泛用于研究计算机的逻辑结构。

微积分和分析
微积分是由牛顿和莱布尼茨在17世纪分别引入的。它研究两个变化量之间的关系，其中一个依赖于另一个。微积分在18世纪被欧拉大力发展，引入了函数等概念。目前， “微积分”主要指该理论的初等部分， “分析”通常用于该理论的高级部分。
分析进一步细分为实分析和复分析。目前有许多分析的子领域，它们包括：

多变量微积分；
泛函分析，变量是函数；
积分理论、测度理论和势能理论，都与概率论密切相关；
常微分方程；
偏微分方程；
数值分析。

离散数学

离散数学是研究离散的而不是连续的数学结构。与实数具有“平滑地”变化的特性相比，离散数学中研究的对象并不以这种方式平滑地变化，而是具有不同的、分开的值。因此，离散数学排除了诸如微积分或欧几里得几何等“连续数学”中的主题。离散对象通常可以用整数枚举。然而， “离散数学”这个术语并没有确切的定义。事实上，描述离散数学的方法，与其说是包含什么，不如说是排除什么：连续变化的量和与之相关的概念。
数学逻辑和集合理论
自19世纪末以来，这些学科都属于数学。在此之前，集合不被认为是数学对象，逻辑虽然用于数学证明，但属于哲学，并不是数学家专门研究的。
在康托尔研究无限集之前，数学家们不愿意考虑无限集合，而认为无限是无穷枚举的结果。康托的工作得罪了许多数学家，不仅因为他考虑了无限集合，而且还因为他的研究表明无限有不同的大小，并且允许无法计算，甚至无法明确描述的数学对象的存在。
在同一时期，在数学的各个领域都出现了这样的情况：以前对基本数学对象的直观定义不足以保证数学的严谨性。这类直观定义的例子有：\"集合是对象的集合\" ， \"自然数是用来计数的\" ， \"点是一个在各个方向上长度为零的形状\" ， \"曲线是一个移动的点留下的痕迹\" ，等等。
这是数学危机的起源。粗略地说，每个数学对象都是由所有类似对象的集合和这些对象必须具备的属性来定义的。例如，在皮亚诺算术中，自然数是由 \"零是一个数\"、\"每个数都是唯一的后继者\"、\"除零以外的每个数都有唯一的后继者 \"以及一些推理规则来定义的。以这种方式定义的对象的 \"性质 \"是数学家留给哲学家的一个哲学问题，即使许多数学家对这种性质有意见，并使用他们的意见（有时称为 \"直觉\"）来指导他们的研究和寻找证明。