这种方法允许将“逻辑”作为数学对象 ， 并证明关于它们的定理 。 例如 ， 哥德尔的不完备定理断言 ， 粗略地说 ， 在每一个包含自然数的理论中 ， 有一些定理是正确的（在一个更大的理论中是可证明的） ， 但在理论内部是不可证明的 。
这些问题和争论导致了数学逻辑的广泛扩展 ， 包括模型理论（在其他理论中建模一些逻辑理论）、证明理论、类型理论、可计算理论和计算复杂性理论等子领域 。 数学逻辑的这些方面在计算机出现之前就已经被引入了 。
应用数学
应用数学涉及数学方法 ， 通常用于科学 ， 工程 ， 商业和工业 。 因此 ， “应用数学”是一门具有专门知识的数学科学 。 应用数学这个术语也描述了数学家研究实际问题的专业特长 。 应用数学是一门专注于实际问题的专业 ， 侧重于在科学、工程和其他领域的数学实践中“建立、研究和使用数学模型” 。
在过去 ， 实际应用推动了数学理论的发展 ， 这后来成为纯数学的研究主题 。 因此 ， 应用数学的活动与纯数学的研究是息息相关的 。
统计学和其他决策科学
应用数学与统计学有很大的重叠 ， 统计学的理论是用数学表达的 ， 尤其是概率论 。 统计人员用随机抽样和随机实验“创建有意义的数据”；统计样本或实验的设计规定了数据的分析 。
统计理论研究决策问题 ， 如最小化一个统计行动的风险 ， 如在参数估计、假设检验和选择最好的过程中使用一个程序 。 在数学统计的这些传统领域中 ， 统计决策问题是通过在特定的约束条件下最小化一个目标函数 ， 如预期损失或成本 。
计算数学
【数学|数学有什么好学的？】计算数学提出和研究解决数学问题的方法 。 数值分析用泛函分析和近似理论研究分析问题的方法 。 数值分析广泛地包括近似和离散化的研究 ， 特别关注舍入误差 。 数值分析和更广泛的科学计算也研究数学科学的非解析性主题 ， 特别是算法 ， 矩阵和图理论 。 计算数学的其他领域包括计算机代数和符号计算 。
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