瑟斯顿学术生涯的第一年在普林斯顿高等研究院,然后去了MIT担任助理教授,之后在普林斯顿大学担任教授 。1991年瑟斯顿离开普林斯顿回到加州大学伯克利分校 。两年后,他成为伯克利数学科学研究所(MSRI,成立于1982年)所长 。MSRI以多种形式促进数学发展,包括定期举办研讨会和持续一个学期的学术交流,期间就某一特定主题邀请学者访问和研讨 。主题可能是傅里叶分析、解析数论、或者几何和拓扑组合学 。选定的主题涉及广泛的数学领域及其应用 。在瑟斯顿领导MRSI期间,他积极推动研究所扩大活动范围,并热衷于促进公众对数学的认识 。
1997年瑟斯顿离开MRSI去了加州大学戴维斯分校,2003年去了康奈尔大学 。2011年,他被诊断患有黑色素瘤,2012年去世 。为了纪念他,2014年在康奈尔举行了一次会议 。
除了菲尔兹奖,瑟斯顿还获得过许多荣誉,包括维布伦几何奖(1976年)和Leroy Steele奖(2012年) 。2005年,瑟斯顿的《三维几何和拓扑学》(Three-dimensional Geometry and Topology)获得了第一届美国数学学会图书奖 。这本书所依据的讲义已流传多年,在成书之前就影响了许多人 。
前面说过菲尔兹奖只颁给40岁以下的人 。当然,菲尔兹奖得主在获奖后继续做出精彩的成果是很常见的,瑟斯顿就是如此 。有一些数学家则因其最好的工作是在40 岁以后完成而错过菲尔兹奖 。后来又有了一些没有年龄限制的顶级奖项,例如邵逸夫奖、阿贝尔奖和沃尔夫奖 。
瑟斯顿和流形
数学有许多领域,例如代数和几何,但是通常很难界定特定的数学“属于”哪个领域,因此,人们会谈论几何代数和代数几何 。虽然大多数人视瑟斯顿为拓扑学家,但他也研究几何学,他的一些工作被描述为几何拓扑学 。
几何和拓扑学家对曲面感兴趣 。我们熟悉各种曲面,比如平面、球面、锥面和甜甜圈(环面) 。流形是一类特殊的曲面,从其上的每一点看来,临近的区域都类似欧氏空间 。更准确地说,流形具有如下性质:流形(曲面)的每一点都位于一个集合的中心,这个集合拓扑等价于一个(开)欧氏球 。欧氏球是与给定点的距离小于或等于某个给定实数r(球的半径)的点集 。它有两种形式,开球只包含距离严格小于r的点,而闭球还包含距离等于r的点 。例如,圆的内部是一个2维开球,也称为开圆 。因此,2维流形是有如下性质的曲面,在其每一点都能找到一个(可能的)小集合拓扑等价(同胚)于一个位于那一点的开圆 。
如果存在从集合X到集合Y的一对一连续映射函数,并且反函数也是连续的,则称X拓扑等价或同胚于Y 。从拓扑学的角度看,正方形、五角星、椭圆和欧氏圆都是拓扑等价的 。请注意,其中一些是光滑曲线,另一些则有角 。也有一些人将拓扑描述为橡皮几何学:如果一个集合不经切割或撕裂就能变换为另一个集合,那么两者就是拓扑等价的 。简而言之,同胚是“拓扑等价”的专业术语 。
![菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想](http://img.zhejianglong.com/230318/1120515Y6-1.jpg)
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![菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想](http://img.zhejianglong.com/230318/1120515500-2.jpg)
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在拓扑学中,一个杯子和一个甜甜圈(实心环面)是等价的,一头母牛和一个球面也是等价的 。| 来源:Wikipedia
数学家们在研究流形时会寻找那些帮助我们理解流形结构的定理 。图1展示了一系列2维流形,这些曲面(都是有界的)上的任意点的周围,都有一个小集合等价于一个2维圆内部的拓扑拷贝 。图中曲面包含的孔的数量各不相同,中间的曲面有1个孔,我们称它的亏格为1 。你也许能想出办法,将中间曲面的多个拷贝连接到左边的曲面,以得到最右边的曲面 。
![菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想](http://img.zhejianglong.com/230318/1120515622-3.jpg)
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图1. 包含零个孔、一个孔和多个孔的曲面 。| 来源:Manifold Atlas Project
应该怎样对流形分类呢?一个自然的选择是依据流形的维度,比如上面我们看到了球面和环面这类经常遇到的2维流形 。除此之外,还有连通、有界、平滑(可微)和紧致的流形,以及有边界的流形 。所有这些都是用来刻画特定类型流形的特殊属性 。图2展示的曲面被称为3维空间中的裤子 。
![菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想](http://img.zhejianglong.com/230318/112051J23-4.jpg)
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图2. 这个曲面被称为3维空间中的裤子 。| 来源:Wikipedia
我们也可以考虑在平面上绘制的裤子,如图3所示 。在不同的设定下观察同一个“对象”,可以帮助我们更深刻地认识对复杂曲面进行区分的一般性原则 。请注意,图中的红色圆圈不是所关注的曲面的一部分 。如果我们在曲面加上红圈会发生什么?每个点仍然是某个拓扑圆的中心吗?拓扑学家可能感兴趣的问题是,如果将裤子作为部件拼接起来,得到的曲面会有多少种变体 。
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