菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想( 四 ) _生活百科

法国数学家庞加莱（1854-1912）是研究曲面拓扑性质的先驱之一。他发展了现代拓扑学的基本思想——同伦与同调的重要概念。

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庞加莱
庞加莱试图搞清楚拓扑学上等同于高维球面的形状可以有多么不同，正如早期拓扑学研究者试图搞清楚简单的封闭曲线的形状可以有多么不同一样。庞加莱思考了这个问题，并给出一个猜想，但是并没有明确说出他认为这个猜想是对还是错！这个猜想后来被称为庞加莱猜想，用现代术语表述是这样：
如果M是封闭的单连通3维流形，则M与3维球面同胚。
这个猜想形式上的直观性吸引了许多拓扑学家开始研究这个问题，并且发展出了许多关于流形的工具，这些工具有希望找到解决这个问题的途径。这个看似简单的问题引发了人们的兴趣，从而刺激拓扑学取得了重要的进展。瑟斯顿在博士工作完成后，对各种流形，尤其是双曲流形产生了兴趣。关键在于这种流形上的每一点都类似某个维度的双曲几何空间。研究一段时间后，瑟斯顿提出了一个猜想，这个猜想后来被称为瑟斯顿几何化猜想。直观的想法是，任何封闭的3维流形都可以区分为8 种类型之一，瑟斯顿对此给出了明确描述，并进行了研究。值得注意的一点是，如果这个猜想被证明是正确的，那么庞加莱猜想就是它的一个推论。
瑟斯顿和其他人证明了几何化猜想的几种特例是正确的。尤其是，瑟斯顿用非常创新的想法证明了，它对一类很丰富的流形，也就是哈肯流形成立。哈肯流形以Wolfgang Haken（1928-）的名字命名，他最著名的工作是与Kenneth Appel证明了四色猜想。

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比尔·瑟斯顿的照片。留意他运动衫上的公式！
在19世纪末20世纪初，希尔伯特列出了一系列他认为对数学发展很重要的问题，希尔伯特问题引发了人们的广泛兴趣。后来的发展证明了他的眼光！其中许多问题已被解决，并衍生出了许多新的数学思想，另一些还在继续研究。2000年时克雷数学研究所提出了一个包含7个问题的清单，被称为千禧年问题，并附加了悬赏，解决其中任何一个问题，都能得到一百万美元奖金！庞加莱猜想就是千禧年问题之一。
2002年，佩雷尔曼（Grigori Perelman，1966-）公布了一系列论文，声称已证明了庞加莱猜想。他解决这个问题的方法就是证明瑟斯顿几何化猜想。随后对他的证明进行的严格审查证实，他的方法非常具有原创性，并且是正确的。同其他突破性证明方法刚提出时一样，佩雷尔曼的方法后来又被加以完善和改进。在他的证明被确认正确之后，他被授予了千禧年奖，但他拒绝领奖！他也被选为 2006 年菲尔兹奖的得主之一（同Andrei Okounkov、陶哲轩和Wendelin Werner一起），但是他又拒绝了。佩雷尔曼使用的方法部分基于Richard Hamilton 关于Ricci流的思想。

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格里戈里·佩雷尔曼
瑟斯顿的其他贡献
接下来我们介绍一下瑟斯顿对几何学的另外两个很重要的贡献。瑟斯顿推广流形概念的方法之一是发展轨形（orbifold，orbit-manifold的缩写）的概念。瑟斯顿在普林斯顿的同事康威（John Horton Conway，1937-2020，在刚过去的4月11日，这位数学天才因新冠肺炎不幸离世）发明了一种实用的轨形标注法，并用来研究各种曲面的对称性。康威证明了它可以解释一个看似特别神秘的事情——在欧氏条带上有7种类型的带状装饰（见图8的示例），在欧氏平面上有17种类型的壁纸图案。康威在其中使用了轨形的概念和基于曲面（在这里是欧式平面）的欧拉示性数的思想，这样对数字7和17的根源就有了一种自然的理解！

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图8. 两种不同类型的带状装饰图案。| 图片来源：Wikipedia
在对流形的研究中，人们经常感兴趣的一个问题是如何对曲面进行三角剖分，即在给定的规则下将曲面分割成三角形，创建三角形网格。曲面的三角剖分在数值分析和图像处理中有重要应用。瑟斯顿研究了一类有趣的二维球面的三角剖分，这种剖分刚好有12个价（valence，度）为5的顶点，其他所有顶点的价为6 。Branko Grünbaum和Theodore Motzkin证明了在对偶情形下（与球面上有12个五边形和一些六边形的富勒烯图相对应），对于6价顶点的每一种可能的数目（1除外），都存在相应的三角剖分。