大学|多种方法计算y=x+√(1-x)在区间[-1, 1]上的最值广东省|职业教育

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多种方法计算y=x+√(1-x)在区间[-11
上的最值主要内容：分别介绍用换元法、导数法和平方法计算y=x+√(1-x)在区间[-11
上最大值和最小值的思路和步骤。

用到的公式：1.y=cx ，则y'=c 。其中c为不为0的常数。
2.y=√(a-bx)则y'=-b/2√(a-bx) 。其中a ， b为常数， b≠0 。
3.二次函数的判别式公式。
方法一：换元法设√(1-x)=t ，则x=1-t^2.
代入方程得：
y=1-t^2+t
=-(t^2-t+1/4)+5/4
=-(t-1/2)^2+5/4
方程看成为t的二次函数，开口向下，可知：
当t=1/2时，此时x0=3/4 ， y有最大值。
即ymax=5/4 。
最小值在定义域两个端点中距离t对应的x最远处取得，
即ymin=f(-1)=-1+√2 。
方法二：导数法∵y=x+√(1-x)
∴y'=1-1/2*√(1-x)=[2√(1-x)-1
/2√(1-x) 。
令y'=0 ，则：2√(1-x)-1=0.
解方程得到x0=3/4.
分析导数y'在定义域上的符号如下：
(1)当x∈[-1 ， 3/4
时， y'≥0 ，为增函数；
(2)当x∈[3/4 ， 1
时， y'≤0 ，为减函数。
则当x=x0时， y有最大值，
即ymax=f(x1)=5/4 。
又y(-1)=-1+√2y(1)=1;
即ymin=-1+√2 。

方法三：平方法∵y=x+√(1-x)
∴y-x=√(1-x) ，两边平方得到：
(y-x)^2=1-x
x^2-(2y-1)x+y^2-1=0对x的方程有解，则：
判别式△=(2y-1)^2-4(y^2-1)≥0
即：y≤5/4.
得ymax=5/4 。
又y(-1)=-1+√2y(1)=1;
即ymin=-1+√2 。
方法分析1.换元法、平方法目的是都是变形得到中学阶段学习的一元二次方程，进而根据性质求解函数的值域。
2.导数知识是高中进阶和大学数学的基本知识，导数是研究函数性质的重要工具，可以判断函数在给定区间上的单调性，也可以根据定义域求出函数的单调区间。
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