为何地图上的航线是曲线如果我们观察地图上的航线 ， 就会发现航线是弯曲的 。
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基本上可以认为地球是个球体 ， 如果飞机在两个城市之间飞行 ， 最好的飞行线路是取这两个城市之间的最短距离 。这其实课看成球面上任意两点之间的最短距离 。过球面上的任意两点以及球心可以做一个截平面 ， 与球面的截痕为一个圆 ， 这个圆的大小不随两点不同而变化 ， 半径都是球半径 。这个圆是任意平面与球面相截得到的所有不同的圆中 ， 半径最大的 ， 因此叫做大圆 。而只要你沿着球表面做线连接任意两个点 ， 曲线长度最短的一定是这个大圆的劣弧长度 。航线按两个城市之间的大圆弧航行才最经济 。地图是球面向平面做投影做出来的 ， 所以我们看到的航线就是曲线了 。
定理：球面上任意两点间的距离以大圆最短 初等几何的观察
如图AB是连接A,B两点的大圆弧 ， C是AB弧上的任意一点 ， 过C做以A,B为极点的圆,设AF,GF ， GB为一条球面曲线 ， 且BG是大圆弧 ， AF也是大圆弧
则CB=BG,AC=AF,但AF+FG+GB>AF+GB=AC+CB=AB.
如果B,E,D,A是另外一条球面上的曲线 ， 过B,D,A的球面三角形中AD+BD>AB,
过E,B,A的球面三角形中亦有BE+AE>AB 。
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微积分证明
下面我们利用球面坐标系与微积分给出一个精确的证明 。
令A,B是半径为R的球面上的任意两点 ， C为球心 ， 大圆弧长可以表达为
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以C为中心建立直角坐标系 ， 让A在z轴上 ， 则球面上任意一点P的坐标可以写成：
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【两点之间线段最短如何证明 两点之间的距离两点之间什么最短】空间中任意曲线的长度可以定义为：
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其中s是参数 ， 对球面曲线就有
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所以
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上式严格成立 ， 也就是要求不论s取值如何都不能离开大圆弧AB时等式严格成立 ， 这就证明了球面上两点的最短距离为大圆弧 。这个距离被高斯称为球面测地线 。
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