小球的体积计算公式球的体积公式怎么算 _生活百科

前段时间有人问，球的体积计算公式是什么？
由于长期依赖各类搜索，再加上对睡觉，刷剧，电子竞技等一系列新兴趣的开发，这些似曾相识的公式早被我抛诸脑后。之后再拿起笔尝试推导我才愕然发现，基础的微积分计算法则好像也有些生疏了。
于是我开始了相关探索，半天下来，不仅成功算了个球的表面积，还算了个球的体积，而这个过程，和微积分法则毫无关系。那么怎样不用微积分就能算个球呢？

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Credit: 3blue1brown
首先，抛弃了微积分这一曲线计算利器，我们的替代工具是：一点点相似三角形知识，一点点空间想象力，再加上中国古代数学家智慧的结晶——祖暅原理。
算个球的表面积！
众所周知，球的表面积公式是 4πr2，正好是同半径圆形面积的4倍，这不禁让人浮想联翩，为什么正好是 4 倍呢？难道圆形面积和球体面积之间有什么不可告人的秘密？顺着这个思路下去你可能会觉得完全无从下手，感到弱小，可怜，又无助。
这也正是我初期经历的心路历程，直到我发现了另一个秘密：4πr2正好是这个球外接圆柱的外围面积。

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想象一下，如果把球表面划分小块，沿水平向四周投影，按理来说，这样投出的小块就可以正好铺满外面这个”圆筒” 。因为圆筒的面积是圆周长乘上筒高：2πr*2r = 4πr2，和里面这颗球的表面积不谋而合！
就像下图右上角示意的那样，球上的小块被投影到圆筒上会变形，它们的宽度可能增大，而高度会相应变小。

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小块可以从平视和俯视两个方向来观察。那我们就来看看，投影过程中，我们的小块到底经历了什么不为人知的变化。
先看俯视图：

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从中心轴往外投影，聪明的你一定已经发现，投影的距离越远，小块就会变得越宽。
所以纬度越高的地方，也就是越靠近上下顶点的小块，投到圆筒上之后，宽度增加得越多；位于赤道上的小块与圆筒相接，宽度也就不发生变化。

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EF 被拉长成了 CD
如果你知道相似三角形的比例关系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，这个增大的倍数是 r/d，也就是
CD/EF = r/d
对于球上不同的纬度，d 会改变，而球的半径 r 不变。越靠近两极，d 越小，r/d 就越大，小块的宽度增加也就越多，这和我们观察到的现象一致。
类似地，可以看看平视方向的情况：

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显然，这个方向上的投影会让小块的高度萎缩，也就是黄色的线段长度会缩短。
因为球的体态圆胖，越靠近两极，小块越是趋近“平躺”，投影之后高度萎缩的也越多；而在赤道上，小块直立，投影不改变小块的高度。

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JH 投影后萎缩成了 EF
显然 ∠α=∠β=∠γ，于是 △HAD，△HIJ 两个三角形是相似三角形，根据比例关系，我们知道：
EF/JH = d/r
也就是说，平视方向投影会让小块高度萎缩，缩小比例是 d/r 。
于是神奇的现象发生了，球上的每一个小块经过投影之后形状的确会发生变化，宽度拉长了 r/d 倍，同时高度萎缩了 d/r 倍，而这两个倍数相乘正好等于 1 。
如此一来，小块投影前后的面积其实没有变化！仅仅利用几个三角形，我们就开心的证明了：计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代。

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投影变化前后，小块的面积不变
那么，算个球的表面积 S球= S筒 = 2πr*2r = 4πr2 。
祖暅原理
祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理），因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等积原理，用于复杂几何领域，但实际上祖暅的发现比他早了1100年。
“幂势既同，则积不容异”这句话就出自于祖暅。如果你对高中数学课本有印象，也许记得这里的“幂”指体积，“势”则为高度。意思就是：高度相同的物体，如果每个剖面面积也一样，它们的体积就相等。