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什么是费马定理( 三 )

生活百科定理


定义代数曲线的方程一般可表示为
F（u ， v）＝0 ，  （6）
左边为u ， v的一个多项式 。丢番图方程就是一种代数曲线的方程 。人们发现 ， 曲线上的有理点就是使等式成立的点 ， 即定义曲线的方程的解 。
对方程
xn＋yn＝zn
来说 ， 两边除以zn ， 得
。
令u= ,v=  ， 则有
un＋vn＝1 （7）
（7）被称为费马方程 ， 由它定义的曲线被称为费马曲线 。于是 ， 费马大定理转化为“在平面中 ， 费马曲线在n＞2时没有坐标都是非零有理数的点” 。
【什么是费马定理】黎曼在1857年引入了代数函数 ， 使代数几何有了较大的发展 。他把代数函数定义在一些互相适当联结的覆叠的复平面上 ， 它们后来被称为黎曼曲面 ， 代数函数在其黎曼曲面上得以单值化 。若把代数曲线视为由方程（6）确定的一个代数函数的图象 ， 则每个代数曲线都有一个自己的（一一对应的）黎曼曲面 。这种黎曼曲面有一大特点：它们恒可以经连续变换成为球面或带有n个洞（贯通的洞）的球面 。洞的个数被称为黎曼曲面的从而也是与它对应的代数曲线的亏格—这是一个重要的代数几何不变量 ， 它决定了黎曼曲面从而代数曲线的许多性质 ， 亏格可以作为划分代数曲线的一个标准 ， 例如按亏格g的不同 ， 有：
g＝0：直线、圆、圆锥曲线；
g＝1：椭圆曲线；
g≥2：其他曲线 ， 如费马曲线等 。
1922年 ， 英国数学家莫德尔提出一个猜想——亏格g≥2的代数曲线上的有理点只有有限多个 。按前述转化分析 ， 由它立即可得出丢番图方程（由方程定义的代数曲线亏格g≥2的）的解只有有限多个；进而可推出 ， n＞2时 ， 方程（5）的正整数解（原始解）至多只有有限多个 。
1983年 ， 德国数学家法尔廷斯利用法国数学家格罗唐迪克所建立的概形理论证明了莫德尔猜想 ， 从而证明了前述关于费马大定理的结论 。人们认为这是费马大定理证明中的又一次重大突破 ， 对许多数学分支都产生了重要的影响 。为此 ， 法尔廷斯获得1986年度菲尔兹奖 。1985年 ， 希斯－布朗利用法尔廷斯的结果 ， 证明了对于几乎所有的素数p ， 费马大定理成立 ， 即如果对某些素数p ， 定理不成立 ， 那么这样的p的数目在整个素数中是微不足道的 。
种种转化的方法既推进了所转化的领域的发展 ， 也使费马大定理的证明取得进展 。可以说 ， 以上结论已十分接近费马大定理了 ， 但它们毕竟不是原定理的证明 ， 离原定理的证明尚有并非容易跨越的“一小步” 。
1993年6月23日 ， 星期三 。英国剑桥大学新落成的牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会 。报告从上午8时整开始 ， 报告人怀尔斯用了两个半小时就他关于“模形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示”的研究结果作了一个冗长的发言 。10时30分 ， 在他的报告结束时 ， 他平静地宣布：“因此 ， 我证明了费马大定理 。”很快 ， 这一消息轰动了全世界 ， 许多一流的大众传播媒介迅速地报道了这一消息 ， 并一致称之为“世纪性的科学成就” 。
那么 ， 怀尔斯是怎样完成费马大定理的最后一步证明的呢？他继续使用转化的方法 ， 采用的则是椭圆函数参数化 。
20世纪50年代 ， 一些数学家发现椭圆函数与模函数有联系 。模函数也是一种人们早有研究的复变数函数 ， 它是定义在单位圆（或上半平面）内部且以其周界为自然边界的一种特殊解析函数 。人们发现 ， 构成模函数的种种反演变换生成一个变换群G ， 模函数是关于群G的自守函数 。这是它与椭圆函数的联系之一 。一些数学家猜测 ， 椭圆曲线可由特殊的模函数单值化 ， 这种曲线被称为模曲线 。1967年韦伊发表了这一猜想 ， 称为谷山－志村－韦伊猜想：所有椭圆曲线都是模曲线 。
1971年 ， 一位法国数学家指出椭圆函数可与费马大定理联系起来 。椭圆曲线可由模函数单值化 ， 这与代数曲线由其黎曼曲面单值化十分相似 。是否也可以类比于黎曼曲面方法 ， 从模函数中找出椭圆曲线的分类标准对其分类 ， 使其中与费马大定理对应的一类中无有理点呢？

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