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费马大定理（Fermat's last theorem）
现代表述为：当n＞2时 ， 方程
xn＋yn＝zn
没有正整数解 。
费马大定理的提出涉及到两位相隔1400年的数学家 ， 一位是古希腊的丢番图 ， 一位是法国的费马 。
丢番图活动于公元250年左右 ， 他以著作《算术》闻名于世 ， 不定方程研究是他的主要成就之一 。他求解了他这样表述的不定方程（《算术》第2卷第8题）：
将一个已知的平方数分为两个平方数 。（1）
现在人们常把这一表述视为求出不定方程
x2＋y2＝z2 （2）
的正整数解 。因而 ， 现在一般地 ， 对于整系数的不定方程 ， 如果只要求整数解 ， 就把这类方程称为丢番图方程 。有时把不定方程称为丢番图方程 。
关于二次不定方程（1）的求解问题解决后 ， 一个自然的想法是问未知数指数增大时会怎么样 。费马提出了这一数学问题 。
费马生前很少发表作品 ， 一些数学成果常写在他给朋友的信中 ， 有的见解就写在所读的书页的空白处 。他去世后 ， 才由后人收集整理出版 。
1637年前后 ， 费马在读巴歇校订注释的丢番图的《算术》第2卷第8题 ， 即前引表述（1）时 ， 在书的空白处写道：“另一方面 ， 将一个立方数分成两个立方数 ， 一个四次幂分为两个四次幂 ， 或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂 ， 这是不可能的 。关于此 ， 我已发现一种美妙的证法 ， 可惜这里空白的地方太小 ， 写不下 。” （3）
费马去世后 ， 人们在整理他的遗物时发现了这一段话 ， 却没有找到证明 ， 这更引起了数学界的兴趣 。
后来 ， 表述（3）被理解为：当整数n＞2时 ， 方程
xn＋yn＝zn （4）
没有正整数解 。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命题 ， 但都没有证明出来 ， 问题表述的简单和证明的困难 ， 吸引了更多的人投入证明工作 。
这一命题就被称为费马猜想 ， 又叫做费马问题 ， 但更多地被叫做“费马最后定理” ， 在我国 ， 则一般称之为费马大定理 。
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出过许多数论命题 ， 后来经过数学界的不懈努力 ， 到1840年前后 ， 除了一个被反驳以外 ， 大多数都被证明 ， 只剩下这个费马猜想没有被证明 ， 因此称之为“最后定理” 。
称之为费马大定理是为了和“费马小定理”相区别 ， 后者也是数论中的一个著名定理：设p为素数 ， 而a与p互素 ， 则ap -a必为p的倍数 。
从费马的时代起 ， 人们就不断进行费马大定理的试证工作 。巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金 ， 奖励证明费马大定理的人 ， 布鲁塞尔科学院也悬赏重金 ， 但都无结果 。1908年 ， 德国数学家佛尔夫斯克尔（F．Wolfskehl）将10万马克赠给格丁根皇家科学会 ， 用以奖励证明费马大定理的人 ， 悬赏期100年 。
人们先对费马大定理作了一些探讨 ， 得出只要证明n＝4时以及n是任一奇素数p时定理成立 ， 定理就得证 。这为后来的证明指出了方向 。
最初的证明是一个数一个数地进行的 。
n＝3的情形在公元972年已为阿拉伯人胡坚迪（al-Khujandi）所知 ， 但他的证明有缺陷 。1770年欧拉给出一个证明 ， 但也不完善 。后来 ， 高斯给出完善的证明 。
n＝4的情形 ， 费马本人已接近得出证明（见无穷递降法） ， 后来欧拉等人给出了新证 。
n＝5的情形 ， 1823年和1826年勒让德和狄利克雷各自独立地给出证明 。1832年后者还证明了n＝14的情形 。
n＝7的情形 ， 1839年为拉梅（Lame）所证明 。
后来 ， 人们为研究的方便 ， 对费马大定理作了进一步的分析 。对于素数p ， 当p不能整除xyz之积时 ， 不定方程
xp＋yp＝zp （5）
无正整数解（p＞2） ， 称之为费马大定理的第一种情形 ， 这种情形似乎容易证一些 。
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