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新罗马字体大全 古罗马数字( 二 )

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复数的发现是偶然的 。学过初等数学的都知道负数没有平方根，因为任何实数的平方都是正的 。但在16世纪，意大利米兰学者卡当在解三次方程时，首次使用了负数的平方根 。笛卡尔将这个看似不存在的平方根称为“虚数” 。后来，科学家们不断质疑和争论“虚数”的真实性，直到高斯发现二维平面上的点的坐标可以用实数和虚数一起表示，这些争论才尘埃落定，平面上的点的坐标所代表的数就是复数 。至此，人们终于认识到复数原来对应的是一个二维的数集，数系第一次与维数联系起来 。实数对应一维直线上的点，复数对应二维平面上的点 。虽然已经证明了直线上的点和平面上的点可以建立一一对应的关系，但是不能认为直线和平面是等价的，这里的关键在于量纲 。“直线上的点”和“平面上的点”的本质区别是“点与点之间的关系”的区别 。这些点之间的关系决定了直线不能代替平面 。直线上的点排列有序，大数总是在小数前面，而平面上的点比直线上的点有更复杂的相关性 。我们不能比较两个复数的大小，只能比较两个复数的范数的大小(范数是代表复数的点到原点的距离的平方)，范数相同的复数正好形成一个以原点为圆心的圆，所有的复数都满足两个复数的范数的乘积等于两个复数的乘积的范数 。也就是说，只有一条直线和一个平面上的点数是相同的，但在更高的层次上，它有着更复杂的性质，即数的规律背后有着更深层次的规律性，这就是量纲的性质 。
复数的发现只是人类对更高维度认识的开始 。发现1元数A对应实数，在几何上可以描述为直线 。如果实数加减，相当于直线左右移动；如果对一个实数进行乘除，相当于拉伸或翻转一条直线(乘以一个负数就是翻转) 。2元数(a+bi)对应的是复数 。在几何学中，它可以描述为平面上一点的坐标 。再加一个复数a+bi，就相当于把点横向移动a，然后纵向移动b，乘以一个复数，不仅会移动平面，还会旋转平面 。乘以I相当于把飞机逆时针旋转90度，乘以I再乘以I相当于把飞机转半圈 。除法是乘法的反义词 。除以复数就是把放大变成缩小，或者反过来，然后反方向旋转 。大部分可以在实数上进行的运算也可以在复数上进行，而且用复数来解一些方程更方便 。
数学家们很快意识到，如果二维数系可以为我们提供更大的计算能力，为什么不考虑将其扩展到更高维的数系呢？然而，这个看似简单的任务却异常艰难 。19世纪爱尔兰著名数学家汉密尔顿在研究复数向三进制数a+bi+cj展开时，遇到了难以克服的困难 。因为三进制数的乘法不能满足“模法则”，而且ij和ji的关系和数值也不能明确定义 。三个数的平方和定理导致三进制数的定义出现问题，然后ij的值给三进制数带来了很多无法解决的问题 。可能一开始三进制数的想法是错误的，也可能需要实数和虚数之外的另一个数来表示ij 。总之，三进制数就像一个残次品，没有任何有意义的性质 。然而，已经扩展到四维的四元数a+bi+cj+dk才浮出水面 。根据汉密尔顿的记述，当时他和妻子正在都柏林的皇家运河上散步，突然想到了方程i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 1的解法，汉密尔顿随即将这个方程刻在了附近的布鲁姆桥上，一度成为数学界的有趣话题 。如果四元数的集合被认为是一个多维实数空区间，那么四元数就代表一个四维空区间 。满足四元数乘法的组合率但不满足交换率，即ab不等于ba，四元数的“加减乘除”运算可以表示三维中物体的运动空，其中bi、cj、dk用于描述三维中的旋转和缩放，A用于描述整个三维中的伸缩程度空，也就是说描述三维空
数系向更高维度的扩张并没有停止 。1845年，阿瑟·凯利发表了八进制数的发现 。八进制数(a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho)是四元数的非结合推广，不满足乘法的结合率，即a(bc)不等于(AB) C，后来发现这一系列新的数系满足一个简单的规律，即每个代数系的维数是前一个的两倍 。这样的代数系统构成一个序列，这个序列称为Gloria-Dixon结构，这个过程生成的所有代数系统，即所谓的Gloria-Dixon代数系统 。实数、复数、四元数、八进制数都是Gloria Dixon构造的代数系统序列之一 。这四种数都满足两个恒等式:第一，两个数的范数的乘积等于两个数的乘积的范数；第二，这四种数可以做“加减乘除”四则运算，我们称之为“赋范整除代数” 。虽然定义允许“赋范可除代数”是无限维的，但实际上不是 。实数域上唯一的赋范可除代数有:实数，复数，四元数，八进制数 。即n个平方和与n个平方和的乘积可以写成n个平方和，只有当n为1、2、4或8时才有效 。数学表达式为:(A1 ^ 2+A2 ^ 2+…+An ^ 2)(B1 ^ 2+B2 ^ 2+…+BN ^ 2)= C1 ^ 2+C2 ^ 2…+CN ^ 2(当且仅当n=1，2，4，8)一个有趣的现象与实数相比，复数缺少“共轭就是自身”的代数性质；四元数比复数缺少“乘法交换律”；但八进制数的四元数缺少“乘法结合律”；至于十六进制数，与八进制数相比，保留了一种叫做幂组合的代数性质，但失去了“代数的交错性”，因此不再是复合代数 。

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