古罗马数字(新罗马字体百科)-07-25 14: 52一块砖守护着你 。
人类的普遍观念是，事物必须有最基本的结构，在此基础上才能逐渐丰富，变得越来越复杂 。所以人类首先发明了最基本的单位“1”，“1”的发明是数学理论的开端 。但基本单位要想形成复杂的结构，就必须通过某种运算组合起来，于是人类发明了“加减乘除”四则运算 。人类通过对数字“1”的无尽运算，发现了自然数、负数、整数、奇数、偶数、完全数、质数、代数数、有理数、无理数、超越数、超限数、实数、虚数、复数等一系列数系 。
纵观“数”的发展史，我们会发现数系的发现与人类认知的发展有着极大的关联 。起初，人们只知道数字是从1开始逐渐增大的一系列数字 。这些数字整齐地排列在一维数轴上，间隔相等，数量无穷 。这些数字是自然数 。“0”这个数字是在人类使用自然数很久以后才出现的 。在古印度，人们发明了九个梵语单词来代表从1到9的数字 。当描述超过9的数字时，它们被四舍五入到一个新的位置，并从1开始重新计数 。但是代表“十”的时候，1后面少了一个位置空，没什么，是的 。当时佛教在印度盛行 。在大乘空佛教的影响下，引入了梵文Sūnya来代表这个数字，意思是“空” 。后来这个数字在公元500年左右传入古罗马，但根据罗马教义，上帝创造的数字中没有怪物“0”，它的出现就是亵渎上帝，所以教皇不仅残酷折磨引入“0”的学者，还明令禁止使用“0” 。但是“0”的使用在当时的数学圈里还是秘密进行的，也为数学的发展做出了重要的贡献 。实践证明，“0”在数学中是不可或缺的，因为“0”不仅是唯一的中性数，还是正数和负数的分界点，是坐标轴的原点 。没有“0”，坐标系就无法建立，整个几何建筑就会坍塌 。
分数的出现是比较自然的 。原始人类发现，在分配猎物时，如果三个人分两个猎物，大家就再也不能分享整个猎物了？于是分数就产生了 。随着社会的发展，人们发现很多量都有相反的含义，比如增加和减少，前进和后退，上升和下降 。为了表示这样一个量，产生了一个负数 。正整数、负整数和零统称为整数 。如果加上正负分数，统称为有理数 。
有理数对应无理数，无理数的发现是很偶然的 。在公元前500多年的希腊，出现了一个毕达哥拉斯学派，认为“数”是万物之源，主宰着整个自然和人类社会，所以世界上的一切都可以归结为数或数的比例，是世界之美与和谐的源泉 。但是有一天，学校的学生希帕索斯偶然发现，边长为1的正方形的对角线长度不能用任何分数来表示 。这个数必须存在，而且不能用现有的数来表示 。这个数的出现动摇了毕达哥拉斯学派的哲学基础 。为了让支撑这个世界的数学大厦不倒塌，他们残忍地把希帕索斯扔进了大海，并且保密 。但是，真相是藏不住的 。人们后来发现，越来越多这样的数是无理数 。有理数和无理数统称为实数 。
至此，人们认为所有的数都被发现了，实数系统已经被这些数填满了，什么都没有遗漏 。但事实证明，这只是一厢情愿的假设 。数学家在研究实数系中各组数之间的对应关系时发现，虽然自然数和实数有无限个，但它们之间并不存在一一对应的关系，也就是说，实数中一定还存在一个看不见的数，这个数是列不出来的 。后来，他们发现这个数是先验的 。目前我们已经发现的超越数只有圆周率和自然对数的底数e以及与之相关的少数几个，还有无穷多个超越数还隐藏在实数的海洋中有待发现 。目前我们只知道E可以表示组成元素有规律变化的连续分数，而π不能 。超越数的规律是什么，超越数能否进一步分类，都是数论中未解之谜 。
由于实数比自然数多，所以实数的无穷性大于自然数的无穷性 。于是，自然界就有了大小不一的无限 。如果把这些“无限”按大小排列，就构成了一个超限数系统 。在这个数系中，每个数都是无限的，但大小不同也是无限的 。康托一直试图证明在自然数的无穷和实数的无穷之间是否还有其他的无穷 。这就是著名的连续统假说 。如果没有其他无穷大，连续统假设为真，否则，连续统假设为假 。出乎意料的是，康托的所有努力都将是徒劳的，因为连续统假说在包括选择公理在内的体系中既不能被证明，也不能被证伪，而选择公理就是我们经常默认应用的常识公理 。它的大致意思是:“如果有无限多堆苹果，我们可以从每堆中选择一个，组成新的一堆苹果” 。这个看似简单却绝对正确的公理，其实关系到数学的基础 。认识到这个公理，连续统假说就是不可证明的，也就是说，我们永远无法说清楚，在自然数的无穷和实数的无穷之间，是否还有其他的无穷 。没有认识到这个公理，连续统假说就是错误的，即在自然数的无穷和实数的无穷之间有更多层次的无穷，这样的无穷的数量是无穷的 。关于连续统假说的争论一直没有中断过 。首先，“选择公理”正确与否，能否用更基本的公理来证明？其次，是选择公理真正影响了连续统假说吗？选择公理的“连续统假设”不能证明吗？后来对这些问题有了各种各样的观点和争论 。我个人认为问题的关键在于可数性 。我们通常意义上的无穷大就是建立在这个基础上的，就是我们可以把连续的数变成离散的数，一个一个的数出来 。这也是我的一个重要观点:“差异不是抽象世界和物理世界的基本属性，而是观察者和观察过程的基本属性 。被观察对象的连续性总是根据观察者的尺度表现出不同精度的离散性，而我们观察的物理世界总是离散的、量子的、不可能连续的 。”在此基础上，只能有一种无穷大，对应自然数的无穷大 。超出这个基础，就超出了我们的观察范围，即系统变得连续，不再可数 。不可数的系统只有一种无穷大，对应的是实数的无穷大 。连续统涵盖的内容超出了人类意识的理解范围 。连续统是不可数的 。严格来说，它没有所谓的“无限”，只有无限之上的“超贫” 。无数事物并不舒展，它们只有永恒，“超贫”已经超越了量的概念，成为一种固有的性质 。
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