在众多数字中,还有两个数字非常特别 。它们是圆周率和自然对数的底e 。它们与I、1、0一起构成了与数学基础相关的五种组合,几乎所有重要的数学理论和物理定律都离不开它们 。自然对数的底数e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+…,其值约为2.718281828…,是一个超越数 。因为e是底数,很多公式可以简化,而且最“自然”,所以也叫“自然对数” 。塑造自然物质形态的涡旋形状和螺旋形状与E密切相关,E也可以通过一个极限得到,即(1+1/x) x,无论x趋向正无穷大还是负无穷大,都等于2.71828.....这也反映了自然界固有的对称性和物极必反的道理 。圆周率是周长与直径的比值,约为3.141592654.....它也是一个超越数 。π可以严格定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x 。它与圈子密切相关,圈子也是自然界中最节省资源的精致结构 。在有限的圆周下,圆所围成的面积总是最大的 。I是虚数的基本单位 。它是1在其他维度的镜像 。有多少维度,就有多少种不同类型的我 。I代表“旋转”的度量 。1是自然数的基本单位 。实数集中的所有数都用1的延拓来表示,1代表“延拓”的度量 。0是一个无限的量,是无形的,无所不包的 。这些最简单最直观的数字,蕴含着最深刻的规律 。0、1、I、π、e这五个数字概括了整个世界的空无、延、转、和、圆、螺旋上升 。伟大的数学家欧拉发现了它们之间的关系,数学家们评价它为“上帝创造的公式”:
实际上是x=π时e IX = cosx+isinx的特例 。这个公式也揭示了三角函数和指数函数的关系 。欧拉公式让我们对抽象世界有了新的认识 。说明了在抽象世界中不同维度上看似不相关的量之间,实际上存在着密切的联系和转化关系 。虚数i*i=-1说明不同维度的运算有完全不同的意义 。数轴上的运算对应拉伸和收缩,二维上的运算包含旋转 。i*i是逆时针旋转单位量两次,运算结果正好等于-1 。我们可以试着这样理解欧拉公式,即X轴上坐标为(e,0)的点在二维中绕原点以90度螺旋旋转π次空,坐标变成(-1,0) 。
论数的膨胀,也许人类还远没有走到尽头,但人们在对数的研究中发现了比数更重要的东西,那就是结构 。数字只是某种表象,其背后是抽象世界的内在结构,是数字的本质 。人类由此实现了一次飞跃,开始转向研究基本结构,即“群” 。
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