熵增熵 _生活百科

雷锋网 AI 科技评论按：「熵」大概是统计学、信息学里最让初学者愁肠百结的基本概念之一。我们都知道熵可以用来描述含有的信息丰富程度的多少，但是具体是怎么回事呢？这篇文章中雷锋网 AI 科技评论将带大家重新系统认识一下「熵」倒是在讲什么。

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假设你在医生办公室中与三个等待的病人交流。三个病人都刚刚完成药物测试，他们面临着两种可能的结果：患病或者未患病。假设这三个病人都充满好奇心而且数学好。他们提前各自研究得到了自己患病的风险，并且想通过这些来确认自己的诊断结果。
病人 A 知道他自己有 95% 的可能会患病。对于病人 B，患病概率为 30%，病人 C 的患病未患病的概率都为 50% 。

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病房中的不确定性
首先我们专注于一个简单的问题。在其他条件都相同的情况下，这三个病人中的哪个面临着更大的不确定性？
这个问题的答案是显而易见的，病人 C 。他所面临的是在这种情况下可能呢存在的更大程度的不确定性：就像医疗版本的抛硬币试验一样。
对于病人 A 来说，虽然他的情况不容乐观，但是至少他对于是否患病这个问题有最小的不确定性。对于病人 B，他的不确定性在病人 A 和病人 C 之间。
这就是为什么要引入熵这个概念的原因：描述一个状况下的不确定性为在xx和xx之间，在日常生活环境下这种精细程度可能足够了，但是对于机器学习任务来说，这种描述太宽泛了。
不确定性度量熵允许我们对于生活中的一个重要问题：事情最终会发展到什么样的结果，进行精确度量和计算。
换种说法，熵是一种不确定性的度量。
在本篇文章中，熵都是指代香农熵（Shannon entropy）。其实还有几种其他类型的熵，但是在自然语言处理或者机器学习领域中，我们提到的熵都是香农熵。
所以在没有特意说明的情况下，下面就是熵的公式。对于事件X，有n种可能结果，且概率分别为p_1, ... p_n，公式为：
基本性质如果你是之一次看到这个公式，你可能会提出一个问题：为什么要用对数？为什么这个公式就能够度量不确定性？当然，还有为什么要用字母H来表示熵？（表面上这个英文字母H是从希腊大写字母Eta上演变过来的，但实际上为什么采用了字母H来表示，还是有一段复杂的历史的，感兴趣的可以看这个问题：Why use H for entropy?)
对于很多情况下的问题，我认为从以下两点切入是很好的选择：（1）我所面对的这个数学结构有那些理想的属性？（2）是否有其他结构也能够满足所有这些理想的属性？
对于香农熵作为不确定性的度量来说，这两个问题的答案分别是：（1）很多，（2）没有。
我们来一个一个看我们希望熵的公式应该具有哪些性质。
基本性质1：均匀分布具有更大的不确定性如果你的目标是减小不确定性，那么一定要远离均匀概率分布。
简单回顾一下概率分布：概率分布是一个函数，对于每个可能的结果都有一个概率，且所有的概率相加等于 1 。当所有可能的结果具有相同的可能性时，该分布为均匀分布。例如：抛硬币实验（50% 和 50% 的概率），均匀的骰子（每个面朝上的概率都为六分之一）。

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均匀分布具有更大的熵
一个好的不确定性度量会在均匀分布时达到更大的值。熵满足这个要求。给定 n 个可能的结果，更大的熵在所有结果的概率相同时得到。

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下面是对于伯努利试验中熵的图像。（伯努利试验有两种可能的结果：p和1-p）：

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在伯努利试验中，当p=0.5时，熵达到更大
基本性质2：对于独立事件，不确定性是可加的假设 A 和 B 是独立事件。换句话讲，知道事件 A 的结果并不会丝毫影响 B 的结果。
关于这两个事件的不确定性应该是两个事件单独的不确定性的和，这也是我们希望熵的公式应该具备的性质。
对于独立事件，不确定性是可加的
让我们使用抛两个硬币的试验作为例子来使这个概念更加具体。我们既可以两个硬币同时抛，也可以先抛一个硬币再抛另一个硬币。在两种情况下，不确定性是相同的。