圆的轨道方程轨道方程 _生活百科

飞船以第二宇宙速度沿水平方向飞出，能摆脱地球的引力束缚吗？空间站受到扰动会不会掉下来？3月20日12时，《张朝阳的物理课》第三十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从物体在万有引力下的运动轨迹方程出发，通过数学推导对这两个问题作了详细解答。

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复习万有引力下的卫星轨迹计算椭圆轨道时的极值距离
直播开始，张朝阳先带网友复习了物体在万有引力下的轨迹方程是怎样导出的。他在白板上写出了上次课程得到的物体在万有引力作用下的径向运动方程和角向运动方程：

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其中的右上角撇号表示对时间的导数。他再次解释了r^2θ’ 是一个常数，相当于说，行星绕着恒星旋转时，行星连接恒星的线段在单位时间内扫过的面积是一个常数，这也就是开普勒第二定律。在课程直播里，张朝阳用a来表示r^2θ’ 这个常数，也就是a= r^2θ’，或者 θ’=a/r^2 。把此式代入径向方程，替代其中的θ’可得：

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张朝阳继续着对轨道方程的推导。他说，既然是求轨道方程，那么我们就不会关心r作为时间t的函数。在极坐标上，曲线方程一般由r=r(θ) 给出，因此我们应该关心r作为 θ 的函数。于是他将式子中的对时间二次导数化成了对角度的导数：

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张朝阳提示大家，从这个式子以及前面的径向方程来看，都存在很多1/r，那么如果做一个y=1/r的代换，会不会让方程变得简单呢？再代换后得到：

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等式右边刚好等于上一个式子方括号里边的部分。借助这一个“巧合”，可以得到了一个简洁的方程：

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其中y=1/r 。张朝阳解释，解方程的时候要观其“面相”，而且这个问题下是向心力在作用，因此使用极坐标，这叫顺势而为。通过求这个方程的通解，可以得到这个物体的运动轨迹在极坐标下的方程:

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这个结果表明物体的运动轨迹只能是椭圆、抛物线或者双曲线。当轨迹是椭圆时，如果A>0，那么这个轨迹的远地点就是轨迹上 θ=π 的点，远地点距离是1/(B-A)；这个轨迹的近地点是轨迹上 θ=0的点，近地点距离是1/(A+B) 。
在带着网友们完整地复习了上一次直播内容后，他以卫星绕地球作圆周运动为例来说明如何运用这个轨道方程。在圆周运动下，半径为常数，不随角度变化，因此A=0，r=1/B=a^2/GM 。将a= r^2θ’=vr代入并且移项，于是有:

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张朝阳解释，这个式子两边乘上卫星的质量m后，左边就是卫星的加速度乘以质量，右边就是卫星受到的引力，这就是普通的牛顿第二定律。这也从侧面表明了推导出来的轨道方程是正确的。
飞船以第二宇宙速度切向飞出可逃离地球引力飞至无穷远处
从上期直播课的计算可以得知，当飞船沿径向以第二宇宙速度飞离地球，是可以脱离地球的引力束缚去到无穷远处的。此前，张朝阳也向直播间的网友们提了一个问题，如果飞船以第二宇宙速度沿切向飞出呢？他说，目前我们求得了轨道方程，那么关于轨道的一切问题我们都可以解答，“现在让我们来回答这个问题。”
张朝阳指出，当飞船在离地心距离为r0的位置以第二宇宙速度沿切向飞出，那么有r0 v2=a，v2在这里表示第二宇宙速度，它满足: