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跪求！2001——2010历年考研数学三和政治真题及答案( 三 )

生活百科方程组


（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件
(A)相互独立.(B)相互独立.
(C)两两独立.(D)两两独立.[C]
按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.
因为
， ， ， ，
且， ， ，，
可见有
， ， ，
， .
故 两两独立但不相互独立； 不两两独立更不相互独立，应选(C).
本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.
三 、（本题满分8分）
设
试补充定义f(1)使得f(x)在 上连续.
只需求出极限 ，然后定义f(1)为此极限值即可.
因为
=
=
=
=
=
由于f(x)在 上连续，因此定义
，
使f(x)在 上连续.
本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求 的极限，可以适当简化.
四 、（本题满分8分）
设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 ,求
本题是典型的复合函数求偏导问题： ， ，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用
，
故，
所以
=
本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.
五 、（本题满分8分）
计算二重积分
其中积分区域D=
从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.
作极坐标变换： ，有
=
令 ，则
.
记，则
=
=
=
=
因此，
本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
六、（本题满分9分）
求幂级数 的和函数f(x)及其极值.
先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.
上式两边从0到x积分，得
由f(0)=1, 得
令 ，求得唯一驻点x=0. 由于
，
可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为
f(0)=1.
求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.
七、（本题满分9分）
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件：
， ，且f(0)=0,
(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程；
(4) 求出F(x)的表达式.
F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.
(1) 由
=
=
=(2 -2F(x),
可见F(x)所满足的一阶微分方程为
(2)
=
=
将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得
C=-1.
于是
本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.
八、（本题满分8分）
设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使
根据罗尔定理，只需再证明存在一点c ，使得 ，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于 ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.
因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是
，
，
.
故
由介值定理知，至少存在一点 ，使
因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 ，使
介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.
九、（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
其中试讨论 和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.

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