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生活百科方程组

2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设其导函数在x=0处连续，则 的取值范围是_____.
（2）已知曲线 与x轴相切，则 可以通过a表示为 ________.
（3）设a0， 而D表示全平面，则 =_______.
（4）设n维向量 ；E为n阶单位矩阵，矩阵
，，
其中A的逆矩阵为B，则a=______.

（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若 ，则Y与Z的相关系数为________.
（6）设总体X服从参数为2的指数分布， 为来自总体X的简单随机样本，则当 时， 依概率收敛于______.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数
(A) 在x=0处左极限不存在.(B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在.(D) 有可去间断点x=0.[]
（2）设可微函数f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是
(A)在 处的导数等于零.（B） 在 处的导数大于零.

(C)在 处的导数小于零.(D)在 处的导数不存在.
[]
（3）设 ， ， ，则下列命题正确的是
(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛.
(B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛.
(C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定.
(D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定.[]
（4）设三阶矩阵 ，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有
(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b 0.
(C)a b且a+2b=0.(D)a b且a+2b 0.[]
（5）设 均为n维向量，下列结论不正确的是

(A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，则 线性无关.
(B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，都有
(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[]
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件
(A)相互独立.(B)相互独立.
(C)两两独立.(D)两两独立.[]
三、（本题满分8分）
设
试补充定义f(1)使得f(x)在 上连续.
四 、（本题满分8分）
设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 ,求
五、（本题满分8分）
计算二重积分
其中积分区域D=
六、（本题满分9分）
求幂级数 的和函数f(x)及其极值.
七、（本题满分9分）
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件：
， ，且f(0)=0,
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2) 求出F(x)的表达式.
八、（本题满分8分）
设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使
九、（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
其中试讨论 和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
十、（本题满分13分）
设二次型
，
中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值；
(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
十一、（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
十二、（本题满分13分）
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
，
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
2003年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设其导函数在x=0处连续，则 的取值范围是 .
当 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.
当 时，有
显然当 时，有 ，即其导函数在x=0处连续.
（2）已知曲线 与x轴相切，则 可以通过a表示为.
曲线在切点的斜率为0，即 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 与a的关系.
由题设，在切点处有
，有
又在此点y坐标为0，于是有
,
故
有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.
（3）设a0， 而D表示全平面，则 =.
本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

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