方程组的系数行列式
=
(1) 当 时且 时，秩(A)=n，方程组仅有零解.
(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为
由 可知， 不全为零. 不妨设 ，得原方程组的一个基础解系为
， ，
当 时，有 ，原方程组的系数矩阵可化为
（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以 倍）
（ 将第n行 倍到第2行的 倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）
由此得原方程组的同解方程组为
， ，.
原方程组的一个基础解系为
本题的难点在 时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然 为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.
十、（本题满分13分）
设二次型
，
中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
(3) 求a,b的值；
(4) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.
（1）二次型f的矩阵为
设A的特征值为由题设，有
，
解得 a=1,b= -2.
(2) 由矩阵A的特征多项式
，
得A的特征值
对于 解齐次线性方程组 ，得其基础解系
，
对于 ，解齐次线性方程组 ，得基础解系
由于 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 单位化，由此得
， ，
令矩阵
，
则Q为正交矩阵. 在正交变换X=QY下，有
，
且二次型的标准形为
本题求a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：
二次型f的矩阵A对应特征多项式为
设A的特征值为 ，则 由题设得
，
解得a=1,b=2.
十一、（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围 ，再对y分段讨论.
易见，当x1时，F(x)=0; 当x8 时，F(x)=1.
对于 ，有
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当 时，G(y)=0；当 时，G(y)=1.
对于 ，有
=
=
于是，Y=F(X)的分布函数为
事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:
当y0时，G(y)=0;
当时，G(y)=1;
当 0 时，
=
=
十二、（本题满分13分）
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
，
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.
设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为
=
= .
由于X和Y独立，可见
G(u)=
=
由此,得U的概率密度
=
本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.
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