数学|国际数学奥赛题，解方程，难度大，正确率不到5％
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大家好！本文和大家分享一道多伦多国际数学奥赛真题 。 这是一道解分式方程的题目 ， 题目的难度还是非常大的 ， 拿给初三学生做 ， 班上的正确率不到5％ ， 甚至一些同学看到题目就被吓到了 。 那么 ， 接下来我们一起来解一下这个方程 。
看过这个方程 ， 相信没有同学会选择直接去分母进行计算 。 虽然直接计算确实可以解出这个方程 ， 但是直接计算的计算量太大 ， 很难保证在大量的计算中不出错 。 其实 ， 要解这个方程 ， 方法并不难 ， 只需要用到初中解方程的一个常用方法：换元法 。
换元法是解复杂形式方程的重要方法 ， 通过换元可以将复杂的形式简化 ， 从而减小计算量 ， 达到快速、准确求解的目的 。 下面和大家分享两个换元的方法 。
解法一：对于复杂方程的换元 ， 首先想到的应该就是找相同的部分 。 比如本题中 ， 虽然原方程看起来很复杂 ， 但是观察后可以发现 ， 分式的分母都含有x^2-8 ， 所以可以令x^2-8=t ， 这样就可以将原方程的分母简化 。
对简化后得到的方程 ， 去分母并整理可以得到：3t^2-147x^2=0 ， 即t^2=49x^2 ， 所以t=±7x 。
下面进行分类讨论 。
①当t=7x时 ， 有x^2-7x-8=0 ， 即(x-8)(x+1)=0 ， 解得x=8或者x=-1；
②当t=-7x时 ， 有x^2+7x-8=0 ， 即(x+8)(x-1)=0 ， 解得x=-8或x=1 。
综合上面的情况就可以得到原方程的解 。
解法二：换元除了找相同的部分 ， 还可以找相似的部分 ， 所以本题除了用解法一的换元方法 ， 还可以用另外一个换元的方法 。
令x^2-x-8=t ， 则原方程同样可以进行简化 ， 并且整理后可以得到：t^2+2tx-48x^2=0 ， 即(t+8x)(t-6x)=0 ， 解得：t=-8x或t=6x 。
当t=-8x时 ， 有x^2+7x-8=0；
当t=6x时 ， 有x^2-7x-8=0 。 解出上面两个方程就可以得到原方程的解 。
【数学|国际数学奥赛题，解方程，难度大，正确率不到5％】本题的难度确实挺大 ， 而真正的难点又在于敢用换元法求解 。 因为一般情况下 ， 用了换元法后可以将原方程里的未知数全部换掉 ， 但是本题用了换元法还是不能全部换掉所有未知数 ， 从而让很多学生想到了用换元法却又不敢用 。 本题中用换元法虽然并不能换掉全部未知数 ， 但是却可以得出两个字母间的关系 ， 从而极大简化计算 ， 方便得到最后的答案 。
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