他旋动数学的透镜注视着数学本身，偶然间他发现了著名的“不完全定理”——它像—支锥子穿透了形式主义的心脏 。
1906年卡特·哥德尔生于布伦城，那时布伦是奥匈帝国的领土，现在它属于捷克共和国的一部分 。他的父亲是一家纺织厂的经理，喜爱逻辑学和进行推理，他的母亲则一直提倡对自己的独生子要尽早教育 。10岁之前，哥德尔一直在学习数学、宗教和好几种语言 。到25岁时，他已经提出了被许多人认为是20世纪最重要的数学成果的“不完全定理” 。1931年，哥德尔提出了他的发现，引起了人们的震惊和迷茫 。它表明，世界上最著名的数学家的将近一个世纪的努力是注定要失败的 。
为了对哥德尔的理论表示赞赏，去理解那个时代数学怎样被感知，是一件残忍的事情 。
多少个世纪以来，人类处于典型的泥水不分的混沌状态，那时人的模糊直觉和明白无误的逻辑思考是搅和在一起的，直到19世纪末期，数学才终于有了发展 。所谓的形式体系被设计了出来，就像从树干上长出了枝丫，定理从推论公理中生了出来 。形式体系表明，得出定理的过程必须从某个地方开始，并且这个地方一定是存在公理的地方，它们是原始的种子，是其他数学结论的源泉 。
机械数学观的优点是它剔除了所有思考和判断的需要 。只要公理是正确的叙述，并且只要推理的法则是正确的，数学就不会出轨，谎言就不会轻而易举地得逞 。
为了发挥标准数字、加号、括号及其他符号的优势，人们经常把文字叙述写成用一系列符号表示的形式体系 。但是，那时这些符号并不是数学的一个必要特征 。虽然文字叙述同样被用来表示李子、香蕉、苹果和橘子，然而那时候，数学叙述（由任意符号构成）越来越明显地成为数学的一种单纯的精确的结构模式 。
很快，少数几个有远见的人物开始懂得了数学叙述的特点，哥德尔即是他们中的佼佼者，这种看待事物的方式打开了数学的一个新的分支学科——抽象数学 。常用的数学分析方法是与抽象数学的模仿一萌芽阶段相联系的，这一阶段形成了形式体系的本质——数学本身被假设为抽象数学的原始样本 。这样数学就像一条自食的蛇一样又扭过头来盘住了自己 。
哥德尔表明，怪异的结论恰恰来自用数学透镜观看数学本身时的聚焦过程 。理解这一结论的方法之一就是想象在一颗遥远的行星上（比如说火星），所有用于写传奇作品的符号碰巧是我们平时用的～9的阿拉伯数字 。这样，火星人将会在他们教科书中讨论一个著名的发现，他们会发现地球上的我们与欧几里德有关，而同时我们会说：“他们的作品中有许多素数，”他们写的东西则像这样：“8445329844508787866873070005766619463864545067111 。”对我们来说它像一个46位的数字 。而对火星人来说，它根本不是数字，而是一句陈述语 。的确，对他们来说，他们写的这些素数代表着34个字母，6个单词和几行话，就像我和你应用英文字母一样 。
现在让我们来想象着讨论一下所有的数学定理之间存在的普遍属性 。如果我们查找火星人的教科书，我们看到的所有定理都只是纯粹的数字而己 。因此我们可能创造出一条复杂的定理，以分辨哪些数字可以出现在火星人的教科书中，而那些数字从不在那儿出现 。当然，我们不愿意谈论数字，而更愿意谈论那些形似数字的符号链 。并且，或许对我们来说，让我们忘记这些符号链对火星人的意义，而仅仅把它们看成是古老的数字，这并不是一件容易的事 。
通过这一简单的换位透视法，哥德尔找到了更深奥的力法 。哥德尔的方法是去想象着研究什么能够被称为“火星人创造的数字”（那些数字实际上是火星人教科书中的定理），并且他试着提出诸如此类的问题：“8030974是否是火星人的创造？”这个问题的意思是，像“8030974”这样的叙述会不会在一本火星人教科书中出现？
哥德尔仔细思索着这一超现实的数字构成，很快他发现这种“火星人创造”的专用数字并不是完全区别于我们熟知的“素数”或“奇数”等概念 。这样一来，地球范围内的数字定理便能够处理诸如“哪些数字是火星人创造，哪些数字不是火星人创造”或者“是否有无限的非火星人创造数字”等问题了 。很可能高等数学教科书（在地球上的）已经包括了关于火星人创造的数字的全部出处 。
【卡特·哥德尔：主要发现、理论观点、生平故事、成长经历、成就贡献】就这样，在数学史上最敏锐的洞见之一里，哥德尔设计出了一句惊人的陈述：“X不是一个火星人创造的数字 。”这句话中的x就是：当“X不是一个火星人创造的数字”陈述被译成火星人的数学概念时所表示出的数字 。仔细想一下这句话，直到你明白它为止 。被翻译成火星人概念的“X不是一个火星人创造的数字”这句陈述，对我们来说将是一串巨大的数字链——一个很大的数字，但是，这串火星人的书写正是我们要找的X（这句叙述本身所谈及的X） 。说起来太曲折，的确这真够曲折的！但是曲折正是哥德尔的特长——曲折就在空间结构中，曲折就在原因中，万事万物都是曲折的 。
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