数学故事:神奇的幻方

相传在大禹治水的年代里,陕西的洛水常常大肆泛滥 。洪水冲毁房舍,吞没田园,给两岸人民带来巨大的灾难 。于是,每当洪水泛滥的季节来临之前,人们都抬着猪羊去河边祭河神 。每一次,等人们摆好祭品,河中就会爬出一只大乌龟来,慢吞吞地绕着祭品转一圈 。大乌龟走后,河水又照样泛滥起来 。
后来,人们开始留心观察这只大乌龟 。发现乌龟壳有9大块,横着数是3行,竖着数是3列,每一块乌龟壳上都有几个小点点,正好凑成从1到9的数字 。可是,谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思 。
有一年,这只大乌龟又爬上岸来,忽然,一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来:“多有趣啊,这些小点点不论是横着加,竖着加,还是斜着加,算出的结果都是15!”人们想,河神大概是每样祭品都要15份吧,赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然,河水从此再也不泛滥了 。
这个神奇的故事在我国流传极广,甚至写进许多古代数学家的著作里 。乌龟壳上的这些点点,后来被称作是“洛书” 。一些人把它吹得神乎其神,说它揭示了数学的奥秘,甚至胡说因为有了“洛书”,才开始出现了数学 。
撇开这些迷信色彩不谈,“洛书”确实有它迷人的地方 。普普通通的9个自然数,经过一番巧妙的排列,就把它们每3个数相加和是15的8个算式,全都包含在一个图案之中,真是令人不可思议 。
在数学上,像这样一些具有奇妙性质的图案叫做“幻方” 。“洛书”有3行3列,所以叫3阶幻方 。它也是世界上最古老的一个幻方 。
构造3阶幻方有一个很简单的方法 。首先,把前9个自然数按规定的样子摆好 。接下来,只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了 。根据同样的方法,还可以造出一个5阶幻方来,但却造不出一个4阶幻方 。实际上,构造幻方并没有一个统一的方法,主要依靠人的灵巧智慧,正因为此,幻方赢得了无数人的喜爱 。
历史上,最先把幻方当作数学问题来研究的人,是我国宋朝的著名数学家杨辉 。他深入探索各类幻方的奥秘,总结出一些构造幻方的简单法则,还动手构造了许多极为有趣的幻方 。被杨辉称为“攒九图”的幻方,就是他用前33个自然数构造而成的 。
攒九图有哪些奇妙的性质呢?请动手算算:每个圆圈上的数加起来都等于多少?而每条直径上数加起来,又都等于多少?

幻方不仅吸引了许多数学家,也吸引了许许多多的数学爱好者 。我国清朝有位叫张潮的学者,本来不是搞数学的,却被幻方弄得“神魂颠倒” 。后来,他构造出了一批非常别致的幻方 。“龟文聚六图”,就是张潮的杰作之一 。图中的24个数起到了40个数的作用,使各个6边形中诸数之和都等于75 。
大约在15世纪初,幻方辗转流传到了欧洲各国,它的变幻莫测,它的高深奇妙,很快就使成千上万的欧洲人如痴如狂 。包括欧拉在内的许多著名数学家,也对幻方产生了浓郁的兴趣 。
欧拉曾想出一个奇妙的幻方 。它由前64个自然数组成,每列或每行的和都是260,而半列或半行的和又都等于130 。最有趣的是,这个幻方的行列数正好与国际象棋棋盘相同,按照马走“日”字的规定,根据这个幻方里数的排列顺序,马就可以不重复地跳遍整个棋盘!所以,这个幻方又叫“马步幻方” 。
近百年来,幻方的形式越来越稀奇古怪,性质也越来越光怪陆离 。现在,许多人都认为,最有趣的幻方属于“双料幻方” 。它的奥秘和规律,数学家至今尚未完全弄清楚呢 。
8阶幻方就是一个双料幻方 。
为什么叫做双料幻方?因为,它的每一行、每一列以及每条对角线上8个数的和,都等于同一个常数840;而这样8个数的积呢,又都等于另一个常数2058068231856000 。
有个叫阿当斯的英国人,为了找到一种稀奇古怪的幻方,竟毫不吝啬地献出了毕生的精力 。
1910年,当阿当斯还是一个小伙子时,就开始整天摆弄前19个自然数,试图把它们摆成一个六角幻方 。在以后的47年里,阿当斯食不香,寝不安,一有空就把这19个数摆来摆去,然而,经历了成千上万次的失败,始终也没有找出一种合适的摆法 。1957年的一天,正在病中的阿当斯闲得无聊,在一张小纸条上写写画画,没想到竟画出一个六角幻方 。不料乐极生悲,阿当斯不久就把这个小纸条搞丢了 。后来,他又经过5年的艰苦探索,才重新找到那个丢失了的六角幻方 。

六角幻方得到了幻方专家的高度赞赏,被誉为数学宝库中的“稀世珍宝” 。马丁博士是一位大名鼎鼎的美国幻方专家,毕生从事幻方研究,光4阶幻方他就熟悉880种不同的排法,可他见到六角幻方后,也感到是大开眼界 。

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