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初中数学|初中数学四点共圆判定方法 五道例题你能证明三道说明你有真水平( 二 )


证明：作过 P 点平行于 AD 的直线 ， 并选一点 E ， 使 PE=AD=BC ，
∵AD∥EP ， AD∥BC．
∴四边形 AEPD 是平行四边形 ， 四边形 PEBC 是平行四边形 ，
∴AE∥DP ， BE∥PC ，
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP ，
∴AEBP 共圆（一边所对两角相等）．
∴∠BAP=∠BEP=∠BCP ，
∴∠PAB=∠PCB
例4、在锐角三角形ABC中 ， BE ， CF是高 ， 在BE、CF或其延长线上分别截取CP＝AB、BQ＝AC ， 分别过P、Q作PM垂直BC ， QM垂直BC ， M、N是垂足 ， 求证：PM＋QN＝BC 。
证明：过A作AD⊥BC交BC于D 。
∵CF⊥AF、CD⊥AD ， ∴A、F、D、C共圆 ，
∴∠BAD＝∠PCM 。
∵∠BAD＝∠PCM、AB＝PC、∠ADB＝∠CMP＝90° ，
∴△ABD≌△CPM ， ∴BD＝PM 。 ······①
∵AE⊥BE、AD⊥BD ， ∴A、E、D、B共圆 ， ∴∠CAD＝∠QBN 。
∵∠CAD＝∠QBN、AC＝QB、∠ADC＝∠BNQ＝90° ，
∴△ACD≌△BQN ， ∴CD＝QN 。 ······②
由①、② ， 得：PM＋QN＝BD＋CD ， 显然有：BD＋CD＝BC ，
∴PM＋QN＝BC 。
2.3、割线定理的逆定理
例5、如图 ， PC 切圆 O 于 C ， AC 为圆的直径 ， PEF 为圆的割线 ， AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D．求证：AB=DC ，BC=AD．
证明：作 CQ⊥PD 于 Q ， 连接 EO ， EQ ， EC ， OF ， QF ， CF ，
所以 PC2=PQ?PO（射影定理） ，
又 PC2=PE?PF ，
所以 EFOQ 四点共圆 ，
∠EQF=∠EOF=2∠BAD ，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF ，
而 CQ⊥PD ， 所以∠EQC=∠FQC ， 因为∠AEC=∠PQC=90° ，
故 B、E、C、Q 四点共圆 ，
所以∠EBC=∠EQC= ∠EQF/2= ∠EOF/2=∠BAD ，
∴CB∥AD ，
易证△AOD≌△COB ， 所以 BO=DO ， 即四边形 ABCD 是平行四边形 ，
∴AB=DC ， BC=AD．
好了 ， 今天的四点共圆证明的方法就介绍到这里 ， 欢迎继续关注 ， 精彩还将继续！

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