数学|数学中的直观、定义与表达
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在数学教程中如何给出定义 ， 经常是值得研究的 。 好的定义应当揭示概念的本质 ， 是“what”层面的 ， 而不是“how”层面的 。
撰文 | 姜树生
本文所讨论的数学问题 ， 主要与数学教育有关 。
对于一个数学概念的理解 ， 直观、定义与表达这三个方面都是需要的 ， 但有各不相同的作用 。
在小学数学的初级教程（具体说就是自然数的认识）中 ， 这三个方面是混合在一起的 ， 既要有直观（从扳着手指头数数开始 ， 实际上要做很多实验） ， 又要学记数法（进而就可以计算） ， 最终要形成自然数的概念 。 在这个过程中 ， 难免有不适当的做法 ， 甚至走弯路、犯错误 ， 但如果最终形成了自然数的概念 ， 在学习过程中有些缺点出些错误都无可非议 。 就如孩子学走路 ， 难免跌跌爬爬 ， 磕磕碰碰 ， 甚至受点伤 ， 但只要最终学会走路就行 。
然而近年来 ， 有些自以为高明的教学法 ， 从很小就教孩子学习记数和计算 ， 不重视甚至忽略直观 。 其结果可能使得孩子在速算比赛中获奖 ， 但却不能自觉地应用数学解决生活中的问题 ， 更没有培养创新能力 。 其实只是一种虚荣而已 。
到了中学数学教程中 ， 上述三个方面逐渐分开 ， 教学法与小学有显著的不同 。
首先来看无理数的概念 。 在早年的大多数教科书以及当今的一些教科书中基本上是这样讲的: 首先以例子说明无理数存在 ， 具体说就是有的“数”不等于两个整数的比 ， 最常见的是边长为 1 的正方形的对角线的长度（有的教科书中给出其无理性的证明） 。 认识到无理数的存在 ， 就可以进一步形成实数的概念 ， 即有理数与无理数的全体 。 至于无理数表达为无限不循环小数 ， 很多教科书是不讲的 ， 或者仅举具体的例子让学生体会 。 这样的讲法尽管没有给出实数的定义 ， 却是适合大多数学生 。 实际上大多数人一辈子也没见过实数的定义 ， 但这并不妨碍他们在工作中使用实数 ， 因为数学的严谨性是由数学家保证的 ， 一般人尽可以放心大胆地使用 。
但是 ， 如果有学生问“什么是无理数” ， 准确地说就是不满足于直观 ， 希望从根本上搞清楚实数的概念 ， 教师应该怎样回答呢？这样的学生是千里挑一 ， 而能回答这样问题的中学教师也是千里挑一 。 问题仅在于千里挑一的学生能否遇到千里挑一的老师 。
有的老师会回答说：“无理数就是无限不循环小数” ， 在有些教科书或课外书中也看到这样的“定义” 。 然而 ， “无限不循环小数”只是无理数的一种表达方式 ， 而不能作为定义 。 从哲学上说 ， 任何一个定义必须是针对一个客观存在的对象否则就可能落入逻辑陷阱 。 （一个典型的例子就是“所有集合的集合” ， 若引入这个“定义” ， 整个数学体系就崩溃了 。 ）首先需要明白实数是一种客观存在 ， 然后才能谈它的表达 。
有效的实数定义至少有两个 ， 一是用戴德金分割 ， 一是用基本叙列 。 两个定义是相互等价的 ， 但风格迥异 ， 前者几何味较浓 ， 后者代数味较浓 。 （从数论的眼光看 ， 实数是整数在“阿基米德位”的局部化 。 ）要想理解实数的实质 ， 最好两个定义都读懂（若能从数论的角度理解当然更好） 。 但这两个定义都颇不简单 ， 而且定义后还要建立各种运算、大小关系、极限等 。 对于一般的中学生甚至大学生 ， 难度都是相当高的 。 因此 ， 在中学数学教程和大学高等数学教程中不引入实数的定义 ， 是明智的 。
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