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数学|数学中的直观、定义与表达( 三 )


上给出的有向面积称为它的积分 ， 记为
由此定义不难证明牛顿-莱布尼兹公式
而积分的一些其他基本性质如
(r s为实数) ， 分部积分法、换元法以及一些初等函数的积分等 ， 利用牛顿-莱布尼兹公式都很容易证明 (有些甚至可以作为习题) 。 利用张景中先生制作的辅助软件 ， 一堂课就足以讲清楚积分的基本概念和牛顿-莱布尼兹公式 ， 这已经超过中学课程标准的要求了 。 至于黎曼积分的原始思想——分割成竖条作面积和再取极限 ， 可以直观地讲一下 ， 不讲也可以 ， 不需要花费很多课时 ， 其实只有少数学生会关注 。
再来看线性代数教程 。 “向量”是最重要的基本概念之一 。 在目前所见到的很多教科书 (其中有些是早年的) 中 ， 向量定义为有序数组 。 这样的定义不仅费解 (与解析几何中的定义相距甚远) ， 而且向量的运算还要另外定义 。 一般说来 ， 要直到学了很多内容后才明白向量是什么 。
这样的定义有明显的缺陷 ， 没有揭露向量的本质 。 详言之 ， 有序数组是向量在取定的坐标系下的表达 ， 是“how”层面的 ， 而好的定义应该是“what”层面的 。
从“what”层面看 ， 向量就是向量空间的元素 ， 脱离向量空间来讨论向量是没有意义的 。 向量的运算 ， 都涉及多个向量以及它们之间的关系 。 所以 ， 要明白什么是向量 ， 归根结底要明白向量空间 。
然而 ， 很多线性代数教科书中根本就没有向量空间 。 即使有 ， 很多教师也不讲 。 常见的理由是 ， 向量空间太“抽象” ， 学生难以理解 。 那么 ， 基于向量空间的很多概念和定理 ， 当然就更不能讲了 。
其实向量空间的概念并不算很“抽象” ， 国外一些大学本科代数教科书是先讲群论后讲线性代数 ， 显然比我国的线性代数或高等代数教科书更“抽象” 。 另一方面 ， 我国现在的中学生都要花很多工夫学集合 ， 但从教科书上看不到有什么用（除了刷题） 。 若是对于向量空间概念的高明之处有所领悟 ， 至少会觉得集合是有用的 。 所以 ， 至少有一部分学生理解向量空间并无困难 。 而对于有困难的学生 ， 需要教育者的耐心 ， 例如可以采取如下的途径讲授 。
注意学生在解析几何中学过平面向量和空间向量 ， 而且知道一些物理应用 。 在初等的数学和物理教科书中一般会讲向量的直观 ， 即“既有大小又有方向的量” ， 而且较好的教科书中还会指出 ， 这只是一种直观 ， 并非既有大小又有方向就是向量 (例如电流) 。 学生通过物理意义可以对向量有正确的理解 ， 尽管还没有向量空间的概念 。 那么 ， 从向量的这些直观概念推进到一般的向量空间 ， 本质上只是维数可以不受限制 。 因此 ， 可以先复习解析几何中的平面向量和空间向量 ， 包括它们的直观意义和物理应用 ， 然后系统地复习和整理向量的运算 ， 再复习和整理向量在直角坐标系下的表达 。 然后举例说明高维的向量也是有数学和物理意义的 。 由此引导到一般的向量空间 ， 就不很“抽象”和难于理解了 。 当然这需要多花费一些时间 ， 但对于后面的学习是有利的 。
【数学|数学中的直观、定义与表达】还值得指出 ， 一般不能说定义的对错（Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well ， every definition is correct”） ， 只能说定义的优劣 。 一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律 ， 启迪思维 ， 引导有意义的研究方向 。 在极端的情形 ， 甚至一个好的定义就解决了问题 。 遗憾的是很多定义有缺陷 。 有的教科书将直观当作定义 ， 毫无科学严谨性可言 ， 有些还颇为费解 ， 或语义含混 ， 或几乎是同义反复（参看 [2

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