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数学|数学中的直观、定义与表达( 二 )


但若在中学或大学数学教程中以“无限不循环小数”作为无理数的定义 ， 则是非常不明智的 ， 非但不能使学生明白 ， 反而会使很多学生误以为懂了 。 如 [4
中所说:
“不怕不懂 ， 就怕不懂还自以为懂 。 ”
再来看平面几何 。 在几何教科书中有很多定义 ， 但这些定义都不是“原始”的 ， 原始的概念如点、直线、平面等都是只有直观没有定义的 ， 但它们由公理体系界定 。 用现代的语言 ， 几何对象可以定义为满足一些条件 (公理) 的若干集合所组成的体系 。 硬要定义直线、平面等是不会有好结果的 ， 所幸还没听说有这样的教科书 。
不过在现行中学数学统编教科书中 ， 很多几何概念的定义有严重缺陷 ， 例如把直观当作定义 ， 或语义含混 (详见 [2
) 。
回过头来再看实数的概念 。 非常值得一提的是数轴的直观 。 将实数理解为数轴上的点 ， 对于大多数学生是理解实数（包括无理数）的一个有效途径 。 有了无理数的例子 ， 再有数轴的直观 ， 对于普通学生就可以有效地讲授实数概念 。 换言之 ， 几何直观是理解实数的一个有效途径 ， 对于中学生是不可或缺的 。
对于多数学生有较高难度的定义还有一些 ， 如概率 。 对于这类概念 ， 只讲直观而不讲定义 ， 常常是明智的 。 但常常还需要给出表达方式 ， 并进一步给出“操作”（如计算）方法 。 这样学生就能够运用这些概念 ， 做出有创新性的工作 ， 尽管可能最终也没有完全搞懂某个概念 。 此外 ， 通过应用也有可能提升对于概念的理解 。
简言之 ， 如果学生能理解 ， 直接讲定义对于建立数学概念最有效；而若大多数学生不能理解 ， 最起码也不应该讲假的定义 ， 或者忽悠学生 。
在大学数学教程中也有定义方面的问题 。
先来看微积分教程 。 随便找一本微积分（或数学分析）教科书 ， 就会看到其中积分（黎曼积分）的定义颇不简单 。 在数学分析教程中 ， 一元函数的积分定义为一个颇不平凡的极限 ， 判别其存在性还要用到达布和等 ， 相当复杂而费解 。 在非数学专业的微积分教程中 ， 这部分内容只是简化了些（实际上是偷工减料） ， 复杂度基本未变 ， 所以未必比数学分析教科书容易懂；但另一方面 ， 对这些内容都不会布置作业 ， 更不会考试（包括研究生入学考试） ， 徒然浪费时间且让学生头疼 。
顺便指出 ， 各版本中学教科书中的积分概念也是这样写的 ， 对于中学生当然就更头疼了 ， 甚至很多中学教师也看不懂 。
学过实变函数论就知道 ， 一元函数黎曼可积等价于几乎处处连续 ， 直观地说 ， 其实离连续函数没多远 。 在黎曼积分的应用中实际上主要是针对连续函数 ， 至多是分段连续函数 。 对于一般的学生 ， 由黎曼积分其实只是学到面积的一个定义 ， 何况这还不是一般的定义 ， 例如一条一般的约当单闭曲线所围成的区域的面积 ， 就不能用黎曼积分来定义（在康妥的时代就知道 ， 曲线可能有非零的面积） 。 所以 ， 花了那么多的时间那么大的功夫学黎曼积分 ， 只是学到一个特殊情形的面积定义而已 。 然而 ， 一般人都有面积的直观 ， 并不需要面积的定义 。 （如果关心面积的定义 ， 可以看勒贝格积分或更一般的定义 ， 如动力系统中对于维数和测度的定义 。 ）因此 ， 为了理解积分的概念 ， 至少对大多数学生 ， 不如局限于连续函数的积分 。
如果将连续函数的积分定义为“有向面积” ， 就很容易理解且不需要花多少功夫 。 具体说 ， 对于闭区间 [a b
上的连续函数 f(x) ， 由直线 x=a ， x=b ， y=0 和曲线y=f(x) 围成的图形具有面积 ， 将直线 y=0 上方的面积看作正的 ， 下方的面积看作负的 ， 这样得到的总面积称为有向面积 。 将 f(x) 在 [a b

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