数学|什么是数学证明？四色猜想的证明为何震动了整个数学界？( 三 ) 机器

四色猜想证明的历史?????1976年1月，困扰了无数智者100多年的四色猜想由人机合作终于获得了解决。面对这一事实，有人带着些惊喜、有人带着些遗憾、也有人带着些怀疑，毕竟它不是数学家们所希望的那种传统演绎证明定理的方式。
四色问题?

四色问题是一个属于拓扑学的问题，它的粗略描述可以追溯到1840 年。当时数学家莫比乌斯在给学生的讲课中提到。在平面上很容易指出四个区域，其中每两个区域都有一个公共的边界线，并要求学生证明：在平面上决不可能指出五个区域都具有上述性质。从这个论断的证明中，可得出莫比乌斯假设∶平面或球面上的每张地图都可以用四种颜色来着色。
明确提出四色问题的是伦敦大学学院毕业不久的学生弗朗塞斯·古斯里（1852）。他在一封给他兄弟弗雷赘克的信中说∶

看来，每幅地图都可以只用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

这是原始四色问题的描述。由于他的兄弟无法解决，所以就这个问题的证明去请教他的老师——英国著名的数学家、逻辑学家德·摩根，据说德·摩根当天就写了封信给当时正在英国三一学院执教的著名数学家、物理学家哈密顿。然而这两位数学家实际上都没有能够解决这个看上去非常简单的问题。
后来英国著名的数学家凯莱于1878年伦敦数学家会议上正式公布了这个问题。他呼吁与会者去解决这一问题。就这样，和费马大定理一样，这个表面看似明易懂，其实很奇特的问题进入了数学家的圈子。从此受到了数学界人士的普遍重视以及数学爱好者们的兴趣。以后，宣布证明了四色问题的声明源源不断，可是一经检查，总是有或大或小的、难以弥补的缺陷。
在众多声称证明了这一论断的解答中，最值得一提的是1879年有一位名叫肯普的会员（同时也是律师）提交的一篇论文。凯莱和当时其他的一些数学家检查后确定证明是正确的。谁知过了10年，也即在1890年，年仅 29岁的英国数学家希伍德在证明中却发现了漏洞。这样，四色猜想依然固我，没有被解决。直到如今才借助于计算机给予解快。
肯普的证明是有错误，然而他的证明思路非常有价值。因为一方面 20 世纪的人们正是沿着他的证明思路，逐渐改进而借助于计算机最终解决了四色问题；另一方面，希伍德在肯普方法的基础上还证明了\"五色定理\" ，特别是对欧拉示性数为K时的曲面上的地图着色数P_k给出了上界：

四色问题的解决?前面已经提及，肯普的证明有错误，但包含了许多天才的思想。
肯普是采用反证法证明四色猜想的，具体思路是∶ 如果有需要五种颜色的地图，则此种地图中必定有一个最小的，也就是在需要五种颜色的地图中有一个区域数目是最少的（这种地图称为最小五色地图）。于是只要证明这种最小的地图是不存在的，问题就可以获得解决。因为假如给定了这样的一种地图，最后总能够对它进行\"归约\"而找到一种更小的地图，而这幅地图也需要五种颜色。为此，肯普先把问题转化为只研究一种所谓的正规地图，在这种地图中由有两个邻国、三个邻国、四个邻国及五个邻国组成的一组构形是不可避免的，也即他需要证明总得有一个国家其邻国数小于等于5 。在这个条件下，肯普把上述论证又简化成四条引理: