（1）每一
（2）最小的五色地图不可能含有恰好有两个或恰好有三个邻域的区域（因为如果那样我们将能够找到一个更小的需要五种颜色的地图）；
（3）同样地 ， 这样的地图不
（4）这样的地图不可能含有恰好有五个邻域的区域 。
对这四种情况经过检查看是否有\"可约构形\"出现 ， 如果都有 ， 矛盾就出现了 。 肯普对于引理1）一3）证明得很成功 ， 但是在4）上却失败了 。
20世纪的数学家们从肯普跌倒的地方开始了艰难的跋涉 。
首先是美国数学家伯克霍夫 。 1913年他在肯普的基础上引进了一些新技巧 ， 这促进了富兰克林于1939年证明22国以下的地图都可以用四色着色；1950年温（Winn）又把22国改进为35国；再接着是1968年奥尔（他是唯一的一本关于四色问题专著的作者）把数目提高到39国；1975 年又报道 ， 对 52 国以下的地图四色猜想都成立 。 从时间上可以看出 ， 四色问题解决的进展是极其地缓慢 。 其中一个一直难以解决的困难 ， 是肯普证明中关于五个邻国时可约构形的判断问题 。 具体地说是如何把 4）中的情况分得足够细 。
在四色问题的解决之路上 ， 数学家H.希什也做出了很大的贡献 。 他从1936 年就开始对四色问题进行研究 ， 且始终坚信四色问题可以通过寻找可约构形的不可避免组得到解决 。 到1950年他从不断的试验中猜测 ， 如果把情况分细到可以证明的地步 ， 则这个组里的构形可能需要大约一万多种情况才行 。 要对如此多的构形逐一证明 ， 工作量之大是非人力所能完成的 。 恰逢电子计算机在计算速度、精确度等方面都得到了惊人的进展 ， 希什敏锐地意识到 ， 若把证明构形可约的方法形式化 ， 在理论上有一部分是可以通过计算机解决的 。 于是他很快就试着利用人机结合去解决 ， 这也是早期人工智能的一种尝试 。
最初他与其学生是围绕着怎样用计算机检查图形是否可约构形进行的 。 尽管希什曾猜测可能要分一万种情况 ， 可是谁也不知道是否真得需要有一万种 ， 况且即使是对一种不太复杂的情况 ， 若要检查也要用上百个小时 ， 而对较复杂的情况 ， 无论是在时间上 ， 还是在存储上 ， 计算机都不能承受 。
美国伊利诺斯大学的黑肯教授在总结以往各种证法后指出 ， 如果运用现有的一切数学方法 ， 不可能给出四色猜想一个传统上的证明 ， 而在还没有一个更强有力的计算机之前 ， 能否给出一个计算机证明也是没有把握的 。 就在这样的信念下 ， 黑肯对希什的方法作了重要的改进 ， 接着是与阿佩尔合作着手研究四色问题 。 两人一方面从理论上继续简化问题 ， 另一方面又利用计算机的试算和人机对话 。 从中获得有益的启示 。 后来二人连手设计了一个能做出特殊类型放电过程的计算机程序 ， 并经过上机不断地反复试验、不断地修改 ， 特别是在计算机专家科克的参与下 ， 最后终于在1976年1月6日 ， 由三人找到了一个合适的可行程序 ， 证得了可约构形的不可避免组 。 于是百年来让人们苦苦思索的这个叙述简单明了的四色猜想 ， 在IBM360机上运行达1200多小时后得到了证明 。 他们是利用\"穷举检验\"法分情况检查的 ， 当时一共分了1482种情况 ， 经查证它们都是可约构形 。
四色猜想的证明是如此的繁复 ， 尽管在 1977 年的一次数值数学与计算机会议上 ， 有人又官布了一个相对简单的证明 ， 可是也要用50机时 。 所以它不像数学中上其它问题的证明 ， 获得数学家们的一致赞扬 ， 而是引起了许多的争议 。
推荐阅读
- 招聘|学历重要还是能力重要？
- 数学|称平行线能相交的数学奇才，遭质疑郁郁而终，其理论12年后被证实
- 本科生|仅4.3％本科生毕业后月入过万：钱好挣，是年轻人最大的错觉
- 考试|“考第一请吃海底捞”，考试成绩出来后，老师感叹：是给自己挖坑
- 考研|95后家长有苦难言，毕业后不是考研就是考编，新型啃老悄然而至
- 备考|大学毕业是该直接去上班，还是安心备考公务员？
- 什么|广州入户心得：我不是学霸，只是听话照做了~
- 高学历|西安一研究生私自离校，跑路方式出乎意料，这就是高学历的素质？
- 事情|老外问“Are you there?”，真的不是问“你在那吗”， 而是问...
- 教师|又是美女，棠湖中学老师斩获全国赛课大奖，成功不易、历程艰辛