泰勒公式的使用条件[泰勒公式趋于0才能用吗] ， 小编带你了解更多信息 。
微分中值定理中介绍过泰勒中值定理(带有拉格朗日型余项的泰勒公式) ， 它可以用柯西中值定理证明 。不过这里还是先推导出带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ， 然后自然地过渡到带有拉格朗日型余项的泰勒公式 。
根据微分的定义可知 ， 若函数f在点x0可导 ， 则有
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即用
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的一次多项式
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逼近
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其误差为
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的高阶无穷小
进一步 ， 猜测可以用的n次多项式逼近其误差为
现在先考虑
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为n次多项式
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的情形 。逐次求它在点x0的各阶导数 ， 得到
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即
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由此可见上述多项式函数的各项系数由其在点x0的各阶导数唯一确定 。
类似的 ， 对于一般函数
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设它在点x0处存在1到n阶的导数 ， 现在尝试由过点x0 ， 且在点x0处的从1到n阶导数分别与
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在点x0处的1到n阶导数相等的n次多项式
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(也称为函数f在点x0的泰勒多项式 ， 各项系数称为泰勒系数)来逼近该函数 ， 并证明其误差为定理
若函数f在点x0存在直至n阶导数 ， 则有
证:设现在只需要证明
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由于
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在x0处的值及1至n阶导数相等 ， 可知
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另外容易得到
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由于
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存在 ， 所以在x0的某邻域U(x0)上f有定义 ， 且存在直至n-1阶导函数 。于是 ， 当
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