文章插图
1、三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心 。
2、三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心 。
3、三角形三条高的交点叫垂心 。
4、三角形三条中线的交点叫重心 。
5、仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心 。
三角形垂心定义
垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点 。
锐角三角形垂心在三角形内部 。
直角三角形垂心在三角形直角顶点 。
钝角三角形垂心在三角形外部 。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆 。
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
【三角形的外心是哪里？】三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
性质3：∠GAC+∠B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等 。
性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
内容如下：
一、三角形的外心
定义：
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。
性质：
1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心 。
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合 。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 。
4.OA=OB=OC=R 。
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 。
6.S△ABC=abc/4R 。
二、三角形的内心
定义：
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心) 。
性质：
1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 。
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 。
3.r=2S/(a+b+c) 。
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2 。
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 。
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 。
推荐阅读
- 位似图形的定义及性质是什么？
- 三角肌中束锻炼方法，练三角肌后束的王牌动作
- 三角形周长的计算公式有哪些？
- 三角函数万能公式推导，三角函数万能公式tanx2
- 一个三角形的中线是什么含义 三角形的中线是啥
- 什么是三角板
- 三角洲的成因是什么
- 三角峰与黄辣丁有什么区别？
- 三角形的外角和是多少度
- 三角形外心性质是什么？