![数学对数公式](http://img.zhejianglong.com/230524/1610531422-0.png)
文章插图
用^表示乘方 , 用log(a)(b)表示以a为底 , b的对数
*表示乘号 , /表示除号
定义式:
若a^n=b(a0且a1)
则n=log(a)(b)
基本性质:
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧 , 直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=
用^表示乘方 , 用log(a)(b)表示以a为底 , b的对数
*表示乘号 , /表示除号
定义式:
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质:
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧 , 直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数 , 所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数 , 所以
log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数 , 所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质:
性质一:换底公式
【数学对数公式】log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
推导如下
N=a^[log(a)(N)]
a=b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
性质二:(不知道什么名字)
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
如果a(a>0 , 且a≠1)的b次幂等于N , 即ab=N , 那么数b叫做以a为底N的对数 , 记作:logaN=b , 其中a叫做对数的底数 , N叫做真数.
由定义知:
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1 , N>0;
③loga1=0 , logaa=1 , alogaN=N , logaab=b 。
对数的运算法则:
1、log(a) (M·N)=log(a) M+log(a) N
2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
3、log(a) M^n=nlog(a) M
4、log(a)b*log(b)a=1
5、log(a) b=log (c) b÷log (c) a
指数的运算法则:
1、[a^m]×[a^n]=a^(m+n) 【同底数幂相乘 , 底数不变 , 指数相加】
2、[a^m]÷[a^n]=a^(m-n) 【同底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减】
3、[a^m]^n=a^(mn) 【幂的乘方 , 底数不变 , 指数相乘】
4、[ab]^m=(a^m)×(a^m) 【积的乘方 , 等于各个因式分别乘方 , 再把所得的幂相乘】
推荐阅读
- 三角形的公式有哪些?
- 什么是微分?
- 质心计算公式
- 奇妙的数学文化心得体会 奇妙的数学王国阅读心得体会精选
- ln代表什么意思数学 ln代表什么意思
- 加法分配律公式是什么?
- 棱长和的公式是什么?
- 圆的体积公式是什么?
- 立方米的计算公式是什么?
- 约当产量法公式是什么?