勾股数是什么意思?


勾股数是什么意思?

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勾股数又名毕氏三元数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数 。
①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过 。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式 。
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明 。
③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦 。
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件 。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解 。
例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90° 。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1 。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等 。
再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形 。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证 。
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数 。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和 。
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便 。
例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182 。
用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182 。
勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出 。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾 。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
[编辑本段]勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c) 。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组 。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1 。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的 。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质 。

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