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指数函数的定义域和值域 指数函数定义域

指数函数值域定义域

指数函数定义域(指数函数的定义域和值域)
指数函数的定义一般一个函数(a为常数且a>0，a≠1)称为指数函数，其定义域为r 。
常见指数函数的底数(e为自然常数，即等于)，即 。
公式中的自变量是实数 。后来数学家把自变量的范围扩展到复数域，指数函数就变成了，其中自变量是复数 。在当时，这就是著名的欧拉恒等式 。

那么，当自变量是一个矩阵时会发生什么呢？
它是指数矩阵的指数函数 。怎么来的？我们假设有这样一个参数微分方程系统:
不难发现，方程的一组特解是圆方程:
上述微分方程以矩阵形式表示如下:
即
在哪个矩阵中

该等式进一步表示为
将其视为一个变量，用分离变量法求解微分方程，得到
即
所以去拿吧 。
即
引入价值后，它就变成了
我们得到了一个非常简洁的指数函数，它的指数是一个矩阵！
如何理解指数是矩阵的指数函数？
通常可以理解为，可以理解为，。如果指数不是整数而是有理数，指数可以表示为分数，可以理解为 。如果指数是非理性的，你怎么理解？

这时，我们需要借助泰勒级数这一超级数学工具:
这个级数对于复数也是成立的，也就是说
如果这个公式的指数推广到矩阵，我们应该得到
在公式中，它被表示为矩阵的乘积 。当它为零时，它是单位矩阵 。
我们根据扩展到上述矩阵指数的泰勒技术来计算时间值 。带入公式中得到



计算以下值，并将其带入上述公式:
在…之中





...
得到



将每一项的矩阵相加，进一步得到
我们发现上式右边的2×2矩阵正好对应正弦和余弦的泰勒公式:
这样，我们可以推断
制造，然后得到 。
即
这个公式和欧拉恒等式
完全对称:
单位矩阵，对应实数或复数域；
矩阵对应虚数单位 。因为，我们发现，即；
如果记为，那么(矩阵的平方是负单位矩阵！！！)，矩阵是虚拟单位矩阵 。然后我们得到矩阵场的一个非常优美的欧拉恒等式:
此外，和也有类似的性质:
同样，作为参考，我们可以得出前面推导出的结论:


修改为矩阵域中的欧拉公式:
因为:
,
在这里，我们不得不惊叹数学的完美！！！
用GeoGebra验证矩阵指数的泰勒公式，结果是正确的:

我们试图找出以下各项的价值:
氪001
再次检查时，由泰勒公式计算的值:

由上面刚刚导出的欧拉公式计算的值:

【指数函数的定义域和值域 指数函数定义域】

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