微积分基本定理(通俗演义中微积分基本定理和公式的推导)如何求曲线X和直线x=0 ， x=10和X轴围成的面积？
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1.近似暴力法:先除再和 。即把不规则图形分成N个小的规则图形(梯形或矩形) ， 计算出N个小的规则图形的面积 ， 加起来近似整体面积 。
如果是这样一个领域 ， 测量员要测量会怎么做？通常用三角形来近似 。测量一个底为10 ， 高约70的三角形 ， 面积约为350 。
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如果将区间[0 ， 10]划分为10个单元 ， 每个单元的长度dx为1 ， 在每个单元[ti ， tj]取点I(等于ti+0.5)和各dy=(ti+0.5) ， 则整个区域划分为10个矩形:
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单元间求和的形式是:
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=0.5+1.5+2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5+9.5=332.5
2极限或无限方法引用极限或无穷大的概念 ， 如果上面的dx→0(n→∞) ， 我取每个单元格之间的右端点:
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有
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当n→∞ ， 上述= 1000/3
3定积分法也可以用定积分的形式表示:
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Dx代表自变量在区间[0 ， 10]内的微分 ， xdx代表整个区域的微分 ， 符号∫是英文“sum”的首字母“S”的拉长 ， 代表区域微分的累加 。
我们来讨论一般情况下定积分的近似计算 。
如果函数f(x)在区间[a ， b]内是连续的 ， 那么存在以下定积分 。
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我们把区间[a ， b]分成n个等长的单元 。
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每个单元格的长度是dx=(b-a)/n ， 如果在每个单元格之间选择I ， 则有
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(上限无限分割或定积分的方法可能找不到极限值 。)
4定积分变上限积分的面积函数以上定积分计算出来的是具体值(注意“定”字) ， 不是一般的函数表达式 。我们需要研究一般规律的函数关系表达式(没有符号∫ ， 这样我们就可以通过代入直接找到它 ， 而不是每次都限制) 。能不能找到一个关于X的面积函数 ， 即任意值的曲线X和直线X与X轴围成的面积函数？如果你给出X的值 ， 你就可以得到面积 。
这种面积函数的积分表达式可以表示为:
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函数F(x)如何启动一个商业网络用一个没有∫符号的表达式来表示？可以认为F(x)肯定与曲线函数x有关 。
我们可以考虑X曲线外y=f(t)的一般情况 ， 面积函数为a(风险网络X) ， 如下图所示:
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关键是找出F(x)或A(x)的一般表达式 ， 它是积分表达式的代换 。从积分表达式可以看出 ， 它与面积微分f(t)dx或f(x)dx有关 。是什么关系？
5从面积函数的变量上限积分到面积函数的一般表达式当积分上限为x时 ， 在此基础上 ， 自变量x与面积函数微分 ， 自变量x增加一个最小值h(dt):
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上图中浅红色阴影部分在H很小时几乎是一个小竖条 ， 所以竖条的面积可以通过计算矩形面积来估算 ， 它的底边是从X到x+h ， 高度是从0到f(x) ， 所以面积是h*f(t) ， 即:
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表达式hf(x)是面积函数f(x)的微分 ， 函数的微分/自变量的微分称为微信商 ， 也称导函数或导数 ， 用f' (x)表示 。导数的形式在一定情况下比微分的形式更简洁 ， 微分也可以通过导数迂回的方式得到 。上述公式可推导如下:
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