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概率问题 高考关于概率的内容有哪些难题？

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概率问通常不是很难，下面介绍一类比较复杂的题，也是高考易错题概率问题 。

概率问题 高考关于概率的内容有哪些难题？

文章插图
概率问题中的递推数列
一、an=p·an－1+q型
某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn 。
(1)求：P2；
(2)求证：Pn< (n≥2) ；
(3)求 。
解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯 。于是P2=P1·+(1－P1)·= 。
(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有
Pn=Pn－1·+(1－Pn－1)·=－Pn－1+，
再利用待定系数法：令Pn+x=－(Pn－1+x)整理可得x=－
∴{Pn－}为首项为(P1－)、公比为(－)的等比数列
Pn－=(P1－)(－)n－1=(－)n－1，Pn=+(－)n－1
∴当n≥2时，Pn<+=
(3)由(2)得= 。
A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为Pn，
(1)求Pn；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.
解析：第n次由A掷有两种情况：
第n－1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为Pn－1；
第n－1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－)(1－Pn－1) 。
∵两种情形是互斥的
∴Pn=Pn－1+(1－)(1－Pn－1)(n≥2)，即Pn=－Pn－1+(n≥2)
∴Pn－=－(Pn－1－)，(n≥2)，又P1=1
∴{Pn－}是以为首项，－为公比的等比数列 。
∴Pn－=(－)n－1，即Pn=+(－)n－1 。
⑵ 。
二、an+1=p·an+f(n)型
(传球问题)A、B、C、D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中，则不同的传球方式有多少种？若有n个人相互传球k次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？
分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质 。
4人传球时，传球k次共有3k种传法 。设第k次将球传给A的方法数共有ak(k∈N*)种传法，则不传给A的有3k－ak种，故a1=0，且不传给A的下次均可传给A，即
ak+1=3k－ak 。两边同除以3k+1得=－·+，
令bk=，则b1=0，bk+1－=－(bk－)，则bk－=－(－)k－1
∴ak=+(－1)k
当k=5时，a5=60.
当人数为n时，分别用n－1，n取代3，4时，可得ak= + (－1)k 。
(环形区域染色问题)将一个圆环分成n(n∈N*，n≥3)个区域，用m(m≥3)种颜色给这n个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？
分析：设an表示n个区域染色的方案数，则1区有m种染法，2区有m－1种染法，3，……，n－1，n区各有m－1种染色方法，依乘法原理共有m(m－1)n－1种染法，但是，这些染中包含了n区可能和1区染上相同的颜色 。而n区与1区相同时，就是n－1个区域涂上m种颜色合乎条件的方法 。
∴an=m(m－1)n－1－an－1，且a3=m(m－1)(m－2)
an－(m－1)n=－[an－1－(m－1)n－1]
an－(m－1)n=[a3－(m－1)3](－1)n－3
∴an=(m－1)n+(m－1)(－1)n(n≥3)
用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有种 。
只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法 。不同的栽法数为
N=4a5=120 。
三、an+1=an·f(n)型
(结草成环问题)现有n(n∈N*)根草，共有2n个草头，现将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数 。
分析：将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m2=an 。
【概率问题 高考关于概率的内容有哪些难题？】将草头编号为1，2，3，……，2n－1，2n 。
草头1可以和新草头3，4，5，……，2n－1，2n共2n－2个新草头相连，如右图所示 。
假设1和3相连，则与余下共n－1条相连能成圆环的方法数为an－1 。
∴an=(2n－2)an－1，(n≥2，n∈N*)，a1=1，得=2n－2

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