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概率问题 高考关于概率的内容有哪些难题？( 二 )

生活百科


an=··……··a1=(2n－2)(2n－4)……2×1=2n－1(n－1)!
变式游戏：某人手中握有2n(n∈N*)根草，只露出两端的各自2n个草头，现将两端的2n个草头各自随机平均分成n组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率 。
分析：两端的2n个草头随机两个相连不同的方法数为N=()2
能够构成圆环的连接方法分两步：
第一步，先将一端的2n个草头平均分成n组，每两根连接起来，得到n组草，认为得到n根“新草”，连接方法数m1= 。
第二步，将另一端的2n个草头平均分成n组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m2=2n－1(n－1)! 。
∴所求的概率Pn==
变式：(06 江苏) 右图中有一个信号源和五个接收器 。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号 。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(D)
（A）（B） （C）（D）
四、an+1=p·an+q·an－1型
某人玩硬币走跳棋的游戏 。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k到k+1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k到k+2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn.
(1)求P0、P1、P2的值；
(2)求证：Pn－Pn－1=－(Pn－1－Pn－2)，其中n∈N，2≤n≤99；
(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率 。
(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，P0=1.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，P1=.
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为.
∴P2=+=.
(2)证明：棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为Pn－2；
②棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为Pn－1.
∴Pn=Pn－2+Pn－1.
∴Pn－Pn－1=－(Pn－1－Pn－2).
(3)解：由(2)知当1≤n≤99时，数列{Pn－Pn－1}是首项为P1－P0=－，公比为－的等比数列 。
∴P1－1=－，P2－P1=(－)2，P3－P2=(－)3，…，Pn－Pn－1=(－)n.
以上各式相加，得Pn－1=(－)+(－)2+…+(－)n，
∴Pn=1+(－)+(－)2+…+(－)n=[1－(－)n+1](n=0，1，2，…，99).
∴获胜的概率为P99=[1－()100]，
失败的概率P100=P98=·[1－(－)99]=[1+()99]
(上楼梯问题)从教学楼一楼到二楼共有15级楼梯，学生A一步能上1级或2级，那么A从一楼上到二楼的不同方法数共有多少种？
设上到第n级楼梯的方法数为an(n∈N)，则a1=1，a2=2，an=an－1+an－2(n≥3)，
由此可得,\\{an}斐波那契数列：1，2，3，5，8，……得a13=377，a14=610，a15=987 。
从原点出发的某质点M，按向量=(0，1)移动的概率为，按向量=(0，2)移动的概率为，设M可到达点(0，n)的概率为Pn
(1)求P1和P2的值；(2)求证：Pn+2－Pn+1=－(Pn+1－Pn)；(3)求Pn的表达式 。
解析：(1)P1=，P2=()2+=
(2)证明：M到达点(0，n+2)有两种情况：
①从点(0，n+1)按向量=(0，1)移动，即(0，n+1)→(0，n+2)
②从点(0，n)按向量=(0，2)移动，即(0，n)→(0，n+2) 。
∴Pn+2=Pn+1+Pn
∴Pn+2－Pn+1=－(Pn+1－Pn)
(3)数列{Pn+1－Pn}是以P2-P1为首项，-为公比的等比数列 。
Pn+1－Pn=(P2-P1)(-)n-1=(-)n-1=(-)n+1，
∴Pn－Pn－1=(－)n
又∵Pn－P1=(Pn－Pn－1)+(Pn－1－Pn－2)+…+(P2-P1)=(-)n+(-)n-1+…+(-)2=()[1-(-)n-1]
∴Pn=P1+()[1-(-)n-1]=+×(-)n 。

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